8.6. LES SOLUTIONS SONT « INJECTIVES QUELQUE PART »
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Un calcul similaire à celui que nous avons fait au § 8.4 pour linéariser l’opérateur de Floer donne (pour H = 0 et J dépendant de t ici) :
(dF) v1+τ (v2−v1) (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+
S(τ, s, t)Y,
où
S est une application
S : [0, 1] × R
2
−→ End(R
2n ).
Notons Y = v 2 − v 1 et S(s, t) =
1
0
S(τ, s, t) dτ . On obtient que v 2 − v 1 est
une solution de
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y = 0,
qui, par ce qui précède, s’annule sur un voisinage de l’origine. En appliquant
le principe de prolongement 8.6.6, on a v 1 = v 2 , autrement dit
v(s + s , t + t ) = v(s + s
, t + t ) pour tous (s, t) ∈ R
2 .
Par récurrence, nous avons v(s, t) = v(k(s
− s ), t) pour tout k ∈ Z et, en
passant à la limite, v(s, t) = x
± (t) contrairement à l’hypothèse faite.
8.6.b. Le principe de prolongement. Il nous faut maintenant démontrer le principe de prolongement. Nous considérons ici le cas d’une équation
« de Cauchy-Riemann perturbée »
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y = 0
dans laquelle J 0 est la structure complexe standard sur R
2n et S : R
2
→
End(R
2n ) est une application de classe C
∞ . Voici la proposition que nous
avons en vue :
Proposition 8.6.6 (principe de prolongement). Soit Y une solution de l’équation de Cauchy-Riemann perturbée, sur un ouvert U de R
2 . Alors l’ensemble
C = {(s, t) ∈ U | Y s’annule à l’ordre infini en (s, t)}
est ouvert et fermé dans U . En particulier, si U est connexe et si Y s’annule
sur un ouvert non vide contenu dans U , alors Y est identiquement nulle
sur U .
Remarques 8.6.7.
(1) Rappelons que l’annulation à l’ordre infini en un point z 0 d’une fonction f est le fait que, pour tout k ≥ 0,
lim
r→0
sup |z−z0|≤r |f (z)|
r k
= 0.
Pour une fonction f de classe C
∞ , ce fait est équivalent à l’annulation en z 0
de toutes les dérivées de tous ordres de f .