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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
L’application
Γ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
dont la proposition 8.1.4 affirme la surjectivité est la composée de (dσ) (u,h)
avec la projection de T σ(u,h) E sur l’espace tangent à la fibre en (u, h) de E.
Donc, la proposition 8.1.3 est une conséquence immédiate de la proposition 8.1.4. La trivialisation Z i de T W le long de u permet d’identifier l’espace tangent à la fibre à l’espace L
p (R × S
1 ; R
2n ).
8.5.b. Démonstration de la proposition 8.1.4. Supposons que Γ ne
soit pas surjective. Démontrons alors :
Lemme 8.5.1. Soit q > 0 tel que 1/p + 1/q = 1. Il existe un champ non nul
de classe C
∞ , Z ∈ L
q (R × S
1 ; R
2n ) tel que, pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et pour
tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on a
Z, (dF) u (Y ) = 0 et Z, grad u (h) = 0.
Dans cet énoncé, , désigne le produit (« accouplement » de L
q et L
p ) :
Z, Y =
R×S 1
Z(s, t), Y (s, t) ds dt
et, comme plus haut, nous avons identifié W
1,p (R × S
1 ; u
T W ) à
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) par le choix d’une trivialisation unitaire (et de même
pour L
q !).
Démonstration. Montrons d’abord que l’image de Γ est un sous-espace fermé
de L
p (R × S
1 ; R
2n ). L’opérateur Γ n’est pas un opérateur de Fredholm
(voir l’exercice 44 page 483), mais (dF) u l’est, comme nous le montrerons
au § 8.7.c, donc son image est fermée et de codimension finie. Bien sûr, cette
image est contenue dans celle de Γ. Il existe un sous-espace G de dimension
finie, supplémentaire de Im(dF) u ,
Im(dF) u ⊕ G = L
p (R × S
1 ; R
2n )
et des projecteurs continus
(6)
π 1 : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ Im(dF) u et π 2 : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ G.
Le sous-espace
G 1 = G ∩ Im(Γ) ⊂ G
est de dimension finie dans G, qui l’est aussi, donc il possède un supplémentaire G 2 . On a alors
Im(Γ) = Im(dF) u ⊕ G 1 , donc Im(Γ) ⊕ G 2 = L
p (R × S
1 ; R
2n ).
(6) Voir au besoin [13, Chap. II].
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
L’application
Γ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
dont la proposition 8.1.4 affirme la surjectivité est la composée de (dσ) (u,h)
avec la projection de T σ(u,h) E sur l’espace tangent à la fibre en (u, h) de E.
Donc, la proposition 8.1.3 est une conséquence immédiate de la proposition 8.1.4. La trivialisation Z i de T W le long de u permet d’identifier l’espace tangent à la fibre à l’espace L
p (R × S
1 ; R
2n ).
8.5.b. Démonstration de la proposition 8.1.4. Supposons que Γ ne
soit pas surjective. Démontrons alors :
Lemme 8.5.1. Soit q > 0 tel que 1/p + 1/q = 1. Il existe un champ non nul
de classe C
∞ , Z ∈ L
q (R × S
1 ; R
2n ) tel que, pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et pour
tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on a
Z, (dF) u (Y ) = 0 et Z, grad u (h) = 0.
Dans cet énoncé, , désigne le produit (« accouplement » de L
q et L
p ) :
Z, Y =
R×S 1
Z(s, t), Y (s, t) ds dt
et, comme plus haut, nous avons identifié W
1,p (R × S
1 ; u
T W ) à
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) par le choix d’une trivialisation unitaire (et de même
pour L
q !).
Démonstration. Montrons d’abord que l’image de Γ est un sous-espace fermé
de L
p (R × S
1 ; R
2n ). L’opérateur Γ n’est pas un opérateur de Fredholm
(voir l’exercice 44 page 483), mais (dF) u l’est, comme nous le montrerons
au § 8.7.c, donc son image est fermée et de codimension finie. Bien sûr, cette
image est contenue dans celle de Γ. Il existe un sous-espace G de dimension
finie, supplémentaire de Im(dF) u ,
Im(dF) u ⊕ G = L
p (R × S
1 ; R
2n )
et des projecteurs continus
(6)
π 1 : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ Im(dF) u et π 2 : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ G.
Le sous-espace
G 1 = G ∩ Im(Γ) ⊂ G
est de dimension finie dans G, qui l’est aussi, donc il possède un supplémentaire G 2 . On a alors
Im(Γ) = Im(dF) u ⊕ G 1 , donc Im(Γ) ⊕ G 2 = L
p (R × S
1 ; R
2n ).
(6) Voir au besoin [13, Chap. II].