8.5. LA TRANSVERSALITÉ
219
Par suite, il existe un projecteur continu
π
2 : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ G 2 .
On en déduit bien que Im(Γ) est fermé : si une suite (y n ) de points de Im(Γ)
converge vers une limite y dans L
p (R × S
1 ; R
2n ), on a π
2 (y ) = 0, donc
y ∈ Im(Γ).
Par conséquent, l’image de Γ est fermée et, avec le théorème de
Hahn-Banach
(7) , il existe une forme linéaire continue ϕ non nulle sur
L
p (R × S
1 ; R
2n ) qui s’annule sur Im(Γ). Le théorème de représentation de
Riesz
(8) affirme que ϕ est de la forme
ϕ(Y ) = Z, Y
pour un champ Z ∈ L
q (R × S
1 ; R
2n ).
On a ainsi, pour tout Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) et pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ),
Z, (dF) u (Y ) = 0 et Z, grad u (h) = 0.
Il nous reste à prouver que le champ Z est de classe C
∞ . Notons
L : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
l’opérateur (dF) u . Rappelons (c’est la proposition 8.4.6) que
LY =
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S · Y
(ici, Y ∈ u
T W ; il faudrait utiliser le repère orthonormé (Z i ) pour définir L
sur W
1,p (R×S
1 ; R
2n ), nous ne le faisons pas pour ne pas alourdir l’écriture).
Définissons une application L
par :
L
: W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
q (R × S
1 ; R
2n )
X −→ −
∂X
∂s
+ J
∂X
∂t
+
t
S · X.
On voit sans peine que L
est un opérateur borné. C’est l’adjoint de L :
avec une démonstration analogue à celle qui suit, on prouve que, pour
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) et X ∈ W
1,q (R × S
1 ; R
2n ), on a
R×S 1
LY, X =
R×S 1
Y, L
X.
Le champ Z devrait donc vérifier L
Z = 0... mais, a priori, il vit dans
L
q (R × S
1 ; R
2n ), qui est plus grand que l’espace sur lequel L
est défini.
Montrons donc :
Lemme 8.5.2. On a, au sens des distributions, L
Z = 0.
(7) Toujours en cas de besoin, toujours [13, Chap. I].
(8) Cette fois, [13, Chap. IV].