8.5. LA TRANSVERSALITÉ
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8.5. La transversalité
Nous démontrons ici la proposition de transversalité 8.1.4, en utilisant la
propriété de Fredholm pour (dF) u , c’est-à-dire modulo la première partie du
théorème 8.1.5. La structure presque complexe J est fixée, le hamiltonien
non dégénéré H 0 est fixé lui aussi. Nous fixons un h 0 ∈ C
∞
ε (H 0 ) et une
solution u de l’équation de Floer pour J et H = H 0 + h 0 :
F(u) =
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H) = 0.
La différentielle de F est calculée, comme nous venons de l’expliquer, dans
une trivialisation unitaire fixée le long de u et nous l’écrivons
(dF) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y.
8.5.a. Définition de Γ. On fixe deux points critiques distincts, x et
y ∈ Crit A H0 . Pour montrer que Z(x, y, J) est une variété, on la décrit
comme ensemble des zéros d’une section d’un fibré. Définissons, sur l’espace
P(x, y) × C
∞
ε (W, H 0 ), le fibré vectoriel
E = {(u, h, Y ) | Y est un champ de vecteurs L
p sur W le long de u} .
On considère E comme un fibré
E −→ P(x, y) × C
∞
ε (H 0 )
(par (u, h, Y ) → (u, h)). L’application
P(x, y) × C
∞
ε (H 0 )
σ
− − → E
(u, h) −→
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad u (H 0 + h)
en est une section. Le fait que la section σ prenne ses valeurs dans E, c’està-dire le fait que
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H)
soit dans L
p (R × S
1 ; u
T W ), comme nous l’avons déjà signalé au § 8.2.d,
est démontré dans le chapitre 13 (et plus précisément dans le lemme 13.3.1).
Les zéros de σ sont exactement les points de Z(x, y, J) (plus exactement
de sa version W
1,p , notons qu’ici les données (H 0 , J) sont C
∞ mais les
solutions (u, Y ) sont faibles). Pour conclure, il suffit de montrer que σ
est transverse à la section nulle, c’est-à-dire que l’application linéarisée
(dσ) (u,h) , composée avec la projection sur la fibre, est surjective lorsque
σ(u, h) = 0.
Remarquons que σ est linéaire en h et que sa différentielle est
(dσ) (u,h) (Y, η) = (dF) u (Y ) + grad u (η).
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8.5. La transversalité
Nous démontrons ici la proposition de transversalité 8.1.4, en utilisant la
propriété de Fredholm pour (dF) u , c’est-à-dire modulo la première partie du
théorème 8.1.5. La structure presque complexe J est fixée, le hamiltonien
non dégénéré H 0 est fixé lui aussi. Nous fixons un h 0 ∈ C
∞
ε (H 0 ) et une
solution u de l’équation de Floer pour J et H = H 0 + h 0 :
F(u) =
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H) = 0.
La différentielle de F est calculée, comme nous venons de l’expliquer, dans
une trivialisation unitaire fixée le long de u et nous l’écrivons
(dF) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y.
8.5.a. Définition de Γ. On fixe deux points critiques distincts, x et
y ∈ Crit A H0 . Pour montrer que Z(x, y, J) est une variété, on la décrit
comme ensemble des zéros d’une section d’un fibré. Définissons, sur l’espace
P(x, y) × C
∞
ε (W, H 0 ), le fibré vectoriel
E = {(u, h, Y ) | Y est un champ de vecteurs L
p sur W le long de u} .
On considère E comme un fibré
E −→ P(x, y) × C
∞
ε (H 0 )
(par (u, h, Y ) → (u, h)). L’application
P(x, y) × C
∞
ε (H 0 )
σ
− − → E
(u, h) −→
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad u (H 0 + h)
en est une section. Le fait que la section σ prenne ses valeurs dans E, c’està-dire le fait que
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H)
soit dans L
p (R × S
1 ; u
T W ), comme nous l’avons déjà signalé au § 8.2.d,
est démontré dans le chapitre 13 (et plus précisément dans le lemme 13.3.1).
Les zéros de σ sont exactement les points de Z(x, y, J) (plus exactement
de sa version W
1,p , notons qu’ici les données (H 0 , J) sont C
∞ mais les
solutions (u, Y ) sont faibles). Pour conclure, il suffit de montrer que σ
est transverse à la section nulle, c’est-à-dire que l’application linéarisée
(dσ) (u,h) , composée avec la projection sur la fibre, est surjective lorsque
σ(u, h) = 0.
Remarquons que σ est linéaire en h et que sa différentielle est
(dσ) (u,h) (Y, η) = (dF) u (Y ) + grad u (η).