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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
L’assertion sur la limite de sa dérivée par rapport à s s’obtient en dérivant
la relation donnant les composantes de la matrice S. Elle est conséquence
du fait que ∂Z i /∂s tend vers 0 (une hypothèse que nous avons faite sur
la trivialisation) d’une part, et du fait que ∂
2 u/∂s∂t tend vers 0 ainsi que
toutes ses dérivées, comme nous l’avons remarqué dans la proposition 6.5.15
et la remarque 6.5.16.
Remarque 8.4.7. Considérons l’équation (dF) u Y = 0 lorsque s tend vers
l’infini (disons +∞, pour fixer les idées) et Y ne dépend pas de s. Elle se
réduit dans ce cas à
−J
Y,
∂u
∂t
= J
∂Y
∂t
+ S + (t)Y = 0
ou encore à
dY
dt
= JS + (t)Y.
Cette équation différentielle linéaire est bien l’équation linéarisée de l’équation de Hamilton (voir le § 14.4.c)
˙
x = X t (x).
En effet, nous avons
[Y, X t ] =
y i Z i , X t
=
y i [Z i , X t ] −
(X t · y i )Z i
ou
dy i
dt
=
y j Z i , [Z j , X t ] ,
ce qui est bien équivalent à l’équation trouvée ci-dessus.
Remarque 8.4.8. Si u est une solution de l’équation de Floer, alors, nous
l’avons dit (dans la remarque 6.5.12), u · s définie par
(u · s)(σ, t) = u(σ + s, t)
en est encore une. Donc F(u · s) = 0 pour tout s et donc
0 =
d
ds
F(u · s) = (dF) u
∂u
∂s
,
∂u/∂s est une solution de l’équation linéarisée. En particulier, le long d’une
solution (non constante) joignant x à y, le noyau de L est de dimension
supérieure ou égale à 1.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
L’assertion sur la limite de sa dérivée par rapport à s s’obtient en dérivant
la relation donnant les composantes de la matrice S. Elle est conséquence
du fait que ∂Z i /∂s tend vers 0 (une hypothèse que nous avons faite sur
la trivialisation) d’une part, et du fait que ∂
2 u/∂s∂t tend vers 0 ainsi que
toutes ses dérivées, comme nous l’avons remarqué dans la proposition 6.5.15
et la remarque 6.5.16.
Remarque 8.4.7. Considérons l’équation (dF) u Y = 0 lorsque s tend vers
l’infini (disons +∞, pour fixer les idées) et Y ne dépend pas de s. Elle se
réduit dans ce cas à
−J
Y,
∂u
∂t
= J
∂Y
∂t
+ S + (t)Y = 0
ou encore à
dY
dt
= JS + (t)Y.
Cette équation différentielle linéaire est bien l’équation linéarisée de l’équation de Hamilton (voir le § 14.4.c)
˙
x = X t (x).
En effet, nous avons
[Y, X t ] =
y i Z i , X t
=
y i [Z i , X t ] −
(X t · y i )Z i
ou
dy i
dt
=
y j Z i , [Z j , X t ] ,
ce qui est bien équivalent à l’équation trouvée ci-dessus.
Remarque 8.4.8. Si u est une solution de l’équation de Floer, alors, nous
l’avons dit (dans la remarque 6.5.12), u · s définie par
(u · s)(σ, t) = u(σ + s, t)
en est encore une. Donc F(u · s) = 0 pour tout s et donc
0 =
d
ds
F(u · s) = (dF) u
∂u
∂s
,
∂u/∂s est une solution de l’équation linéarisée. En particulier, le long d’une
solution (non constante) joignant x à y, le noyau de L est de dimension
supérieure ou égale à 1.