8.4. LINÉARISATION DE L’ÉQUATION DE FLOER
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Démonstration. Partons de l’expression donnée dans la proposition 8.4.4,
l’opérateur S est la partie d’ordre 0, la j-ème composante en est :
S(s, t) · (y 1 , . . . , y 2n ) j
=
2n
i=1
y i
Z i , J(u)
∂u
∂t
− X t
− J(u)y i
Z i ,
∂u
∂t
, Z j
.
Quand s → ±∞,
lim
∂u
∂t
− X t
= 0
puisque ∂u/∂s tend vers 0 (quand s → ±∞) uniformément ainsi que ses
dérivées (voir le théorème 6.5.6 et la proposition 6.5.15). L’opérateur figurant dans le premier terme de la somme tend donc vers 0. Vérifions que
la limite du deuxième terme de cette somme est un opérateur symétrique.
La i-ème colonne de la matrice tend vers (pour s → −∞, le cas s → +∞
est identique)
−−J(x)[Z i , X t (x)], Z j , 1 ≤ j ≤ 2n
(nous avons supposé que Z i avait une limite pour s = ±∞, c’est elle qui
apparaît là). Alors, disons pour s → −∞,
J(x)[Z i , X t (x)], Z j = ω(Z j , [Z i , X t (x)]).
La symétrie résulte du fait que la forme ω est fermée :
0 = dω(Z i , Z j , X t ) = Z i · ω(Z j , X t ) + Z j · ω(X t , Z i ) + X t · ω(Z i , Z j )
+ ω([Z i , Z j ], X t ) + ω([Z j , X t ], Z i ) + ω([X t , Z i ], Z j ).
Ensuite, X t est le champ hamiltonien associé à H t , donc
Z i · ω(Z j , X t ) + Z j · ω(X t , Z i ) + ω([Z i , Z j ], X t )
= Z i · dH t (Z j ) − Z j · dH t (Z i ) + dH t ([Z i , Z j ])
= d(dH t )(Z i , Z j )
= 0.
De plus, la base (Z 1 , . . . , Z 2n ) est symplectique, de sorte que les ω(Z i , Z j )
sont constants, donc
X t · ω(Z i , Z j ) = 0.
Il ne reste plus que deux termes,
ω([Z j , X t ], Z i ) + ω([X t , Z i ], Z j ) = 0,
ou encore
ω(Z j , [Z i , X t (x)]) − ω(Z i , [Z j , X t (x)]) = 0,
ce qui est bien la symétrie de notre opérateur limite.