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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Ici les crochets sont à prendre dans le même sens qu’au § 14.4.c et sont
calculés dans R
m .
Ce qui se dit aussi : la linéarisée de l’équation de Floer est somme de
l’opérateur de Cauchy-Riemann et d’un opérateur d’ordre 0. En effet,
– comme nous avons supposé la base Z 1 , . . . , Z 2n symplectique et orthonormée, le terme d’ordre 1 est ∂(y 1 , . . . , y 2n ), où ∂ désigne l’opérateur de
Cauchy-Riemann pour la structure complexe J 0 standard
(5) ,
– les deux autres termes ne dérivent pas les y i (c’est bien un opérateur
d’ordre 0).
Remarque (sur les notations). Comme toujours, pour écrire la différentielle
d’une application définie sur une variété, on a besoin d’une carte de cette
variété. Ici nous avons utilisé
F u : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ P
1,p (x, y)
F
−−→ L
p (R × S
1 ; R
m )
où la première application est la carte (notée i page 211) centrée en u. Bien
entendu, par (dF) u , nous désignons ce qui, en coordonnées, est (dF u ) 0 . Il ne
nous a pas semblé qu’utiliser cette notation ((dF u ) 0 ) aurait rendu la lecture
de ce texte plus limpide, aussi nous ne l’avons pas fait.
Remarque 8.4.5. Revenons au cas d’un u qui ne soit pas nécessairement
solution de l’équation de Floer. L’égalité contenue dans la remarque 8.4.2
montre que, dans cette carte, (dF) u se décompose de même en
(dF) u (Y ) = ∂Y + S(s, t)Y
où S(s, t) est un opérateur d’ordre 0.
Dans le cas où u est solution de l’équation de Floer, l’opérateur d’ordre 0
possède une propriété spécifique.
Proposition 8.4.6. Si u est solution de l’équation de Floer, la différentielle
de F en u est somme
(dF) u = ∂ + S(s, t)
où S est un opérateur linéaire qui tend vers un opérateur symétrique quand s
tend vers ±∞ et vérifie
lim
s→±∞
∂S
∂s
(s, t) = 0
(uniformément en t).
(5) À un facteur 2 près : le ∂ usuel est
1
2
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Ici les crochets sont à prendre dans le même sens qu’au § 14.4.c et sont
calculés dans R
m .
Ce qui se dit aussi : la linéarisée de l’équation de Floer est somme de
l’opérateur de Cauchy-Riemann et d’un opérateur d’ordre 0. En effet,
– comme nous avons supposé la base Z 1 , . . . , Z 2n symplectique et orthonormée, le terme d’ordre 1 est ∂(y 1 , . . . , y 2n ), où ∂ désigne l’opérateur de
Cauchy-Riemann pour la structure complexe J 0 standard
(5) ,
– les deux autres termes ne dérivent pas les y i (c’est bien un opérateur
d’ordre 0).
Remarque (sur les notations). Comme toujours, pour écrire la différentielle
d’une application définie sur une variété, on a besoin d’une carte de cette
variété. Ici nous avons utilisé
F u : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ P
1,p (x, y)
F
−−→ L
p (R × S
1 ; R
m )
où la première application est la carte (notée i page 211) centrée en u. Bien
entendu, par (dF) u , nous désignons ce qui, en coordonnées, est (dF u ) 0 . Il ne
nous a pas semblé qu’utiliser cette notation ((dF u ) 0 ) aurait rendu la lecture
de ce texte plus limpide, aussi nous ne l’avons pas fait.
Remarque 8.4.5. Revenons au cas d’un u qui ne soit pas nécessairement
solution de l’équation de Floer. L’égalité contenue dans la remarque 8.4.2
montre que, dans cette carte, (dF) u se décompose de même en
(dF) u (Y ) = ∂Y + S(s, t)Y
où S(s, t) est un opérateur d’ordre 0.
Dans le cas où u est solution de l’équation de Floer, l’opérateur d’ordre 0
possède une propriété spécifique.
Proposition 8.4.6. Si u est solution de l’équation de Floer, la différentielle
de F en u est somme
(dF) u = ∂ + S(s, t)
où S est un opérateur linéaire qui tend vers un opérateur symétrique quand s
tend vers ±∞ et vérifie
lim
s→±∞
∂S
∂s
(s, t) = 0
(uniformément en t).
(5) À un facteur 2 près : le ∂ usuel est
1
2
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
.