8.4. LINÉARISATION DE L’ÉQUATION DE FLOER
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Comme u est une solution, remplaçons ∂u/∂s par −J(u)∂u/∂t − grad u H t
pour obtenir
(dF) u (Y ) = dY
−J(u)
∂u
∂t
− dY
grad u H t
+ d
J(u)
∂u
∂t
(Y ) + d(grad u H t )(Y )
+ J(u)
dY
∂u
∂t
− d
∂u
∂t
(Y )
=
Y, J(u)
∂u
∂t
+
Y, grad u H t
− J(u)
Y,
∂u
∂t
.
Utilisons maintenant la carte définie par la base (Z 1 , . . . , Z 2n ), en écrivant
Y =
y i Z i .
Nous obtenons dans cette carte
(dF) u (Y ) =
y i Z i , J(u)
∂u
∂t
+ grad u H t
− J(u)
y i Z i ,
∂u
∂t
=
y i
Z i , J(u)
∂u
∂t
+ grad u H t
− J(u)
y i
Z i ,
∂u
∂t
−
J(u)
∂u
∂t
+ grad u H t
· y i
Z i
+ J(u)
∂u
∂t
· y i
Z i .
Les termes de la première ligne sont « d’ordre 0 », c’est-à-dire qu’ils ne
dérivent pas les y i . Commençons par étudier les termes « d’ordre 1 », les
autres. Puisque u est une solution de l’équation de Floer,
−
J(u)
∂u
∂t
+ grad u H t
· y i =
∂u
∂s
· y i .
Finalement les termes d’ordre 1 se réduisent à
∂y i
∂s
+ J 0
∂y i
∂t
Z i
(où J 0 est la structure complexe standard sur R
2n = C
n ). Nous avons donc
démontré :
Proposition 8.4.4. Si u est une solution de l’équation de Floer, la différentielle de F en u s’écrit, dans la trivialisation définie par (Z 1 , . . . , Z 2n )
(dF) u
y i Z i
=
i
∂y i
∂s
+ J 0
∂y i
∂t
Z i
+
y i
Z i , J(u)
∂u
∂t
− X t
− J(u)
y i
Z i ,
∂u
∂t
.