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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
un vecteur. Nous considérons Y =
y i Z i comme un vecteur de R
m tangent
à W . Écrivons
F(u + Y ) =
∂(u + Y )
∂s
+ J(u + Y )
∂(u + Y )
∂t
+ grad u+Y H t .
La partie linéaire en Y de cette expression est
(dF) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ (dJ) u (Y )
∂u
∂t
+ J(u)
∂Y
∂t
+ d(grad u H t )(Y ).
Lemme 8.4.1. Pour toute application J à valeurs dans les endomorphismes
de R
m et toutes applications Y et v à valeurs dans R
m , on a
(dJ)(Y ) · v = d(Jv)(Y ) − Jdv(Y ).
Démonstration. Il suffit de différentier l’application x → J(x) · v(x), ce qui
donne :
J(x + Y ) · v(x + Y ) = (J(x) + (dJ) x (Y )) · (v(x) + (dv) x (Y ))
à l’ordre 1, de sorte que
d(J · v) x (Y ) = (dJ) x (Y ) · v(x) + J(x) · (dv) x (Y ).
Remarque 8.4.2. Pour toute application u : R × S
1
→ W de classe C
∞ ,
(dF) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ J(u)
∂Y
∂t
+
(dJ) u (Y )
∂u
∂t
+ d(grad u H t )(Y )
,
est somme d’un opérateur différentiel d’ordre 1 et d’un d’ordre 0.
Proposition 8.4.3. Si u est une solution de l’équation de Floer, la différentielle
de F en u est
(dF) u (Y ) =
Y, J(u)
∂u
∂t
+ grad u H t
− J(u)
Y,
∂u
∂t
.
Démonstration. Appliquons le lemme au calcul en cours,
(dF) u (Y ) =
∂Y
∂s
+ d
J(u)
∂u
∂t
(Y ) − J(u)d
∂u
∂t
(Y )
+ J(u)
∂Y
∂t
+ d(grad u H t )(Y )
= dY
∂u
∂s
+ d
J
∂u
∂t
(Y ) + J(u)dY
∂u
∂t
− J(u)d
∂u
∂t
(Y ) + d(grad u H t )(Y ).