8.4. LINÉARISATION DE L’ÉQUATION DE FLOER
211
s
u
x
y
Figure 1
de s et t (ici nous considérons bien le cylindre R × S
1 des (s, t) comme une
partie de la sphère, comme sur la figure 1). Nous demanderons que cette trivialisation soit symplectique et orthonormée, c’est-à-dire que la base des Z i
soit une base symplectique et orthonormée, et que les vecteurs Z i aient une
limite quand s tend vers ±∞. Nous aurons aussi besoin que
lim
s→±∞
∂Z i
∂s
= 0.
Il existe de telles trivialisations, comme on s’en convainc en utilisant des
cylindres près des calottes sphériques de la figure 1.
Ce repère définit une carte (centrée en u) de la variété de Banach
P
1,p (x, y) :
i : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ P
1,p (x, y)
(y 1 , . . . , y 2n ) −→ exp u (
y i Z i ).
Remarquons que
(di) 0 (y 1 , . . . , y 2n ) =
y i Z i
(parce que (d exp) 0 = Id, voir si nécessaire le § 14.5).
Considérons maintenant l’application, que nous continuons à appeler F
F : P
1,p (x, y)
F
−−→ L
p (R × S
1 ; T W ) −→ L
p (R × S
1 ; R
m )
u − −−−−−−−−−−−−−−−−−−− →
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u)
et calculons sa différentielle en u. Soit
Y (s, t) = (y 1 (s, t), . . . , y 2n (s, t)) ∈ R
2n
⊂ R
m