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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
de ce type dans toutes les cartes dont les domaines B i rencontrent U . Cela
se fait de manière analogue, en remplaçant, dans la définition de ε
,
β C k (B(0,1)) par min
j
β ◦ Ψ i ◦ Ψ
−1
j
C k (Ψj (Bi∩Bj ))
.
Fixons un hamiltonien H 0 (dépendant du temps) dont nous supposons
que toutes les orbites périodiques sont non dégénérées. L’espace de « perturbations » de H 0 que nous allons utiliser est l’espace C
∞
ε (H 0 ) des applications
h : W × S
1
→ R telles que h ε < +∞ et
h(x, t) = 0 sur un voisinage des orbites 1-périodiques de H 0 .
Comme le support de h est « loin » des solutions périodiques de H 0 ,
les solutions périodiques de H 0 + h sont, au moins pour h ε assez petite,
exactement les solutions périodiques de H 0 lui-même — et elles sont non
dégénérées.
8.4. Linéarisation de l’équation de Floer : calcul de la différentielle
de F
Pour éviter aux débutants de douloureuses dérivations de champs de
vecteurs et le recours à la connexion de Levi-Civita, nous allons utiliser ici
un plongement de la variété W dans R
m (m est très grand, plus grand en
tout cas que la dimension 2n de la variété). Avec
T W ⊂ R
m
× R
m pr 2
− −−− → R
m ,
les vecteurs Z i , de même que tous les vecteurs tangents à W le long de u
et même d’un voisinage B de u peuvent être considérés comme des vecteurs de R
m . De la même façon, F est considérée comme à valeurs dans
un espace vectoriel d’applications à valeurs dans R
m , C
∞ (R × S
1 ; R
m ) ou
L
p (R×S
1 ; R
m ). Pour calculer la différentielle de F, fixons donc une solution
u ∈ M(x, y) ⊂ C
∞
loc (R × S
1 ; W )
de l’équation de Floer. Le cylindre
u : R × S
1
−→ W
se complète en une sphère : les lacets x et y sont contractiles, prolongeons-les
en des disques, déterminant une application
u : S
2
−→ W
comme sur la figure 1.
Comme au chapitre 7, le fibré
u
T W est trivialisable comme fibré symplectique (grâce à l’hypothèse 6.2.2). Nous en choisissons donc une trivialisation, c’est-à-dire une base (Z 1 , . . . , Z 2n ) ∈ T u(s,t) W , dépendant de façon C
∞
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
de ce type dans toutes les cartes dont les domaines B i rencontrent U . Cela
se fait de manière analogue, en remplaçant, dans la définition de ε
,
β C k (B(0,1)) par min
j
β ◦ Ψ i ◦ Ψ
−1
j
C k (Ψj (Bi∩Bj ))
.
Fixons un hamiltonien H 0 (dépendant du temps) dont nous supposons
que toutes les orbites périodiques sont non dégénérées. L’espace de « perturbations » de H 0 que nous allons utiliser est l’espace C
∞
ε (H 0 ) des applications
h : W × S
1
→ R telles que h ε < +∞ et
h(x, t) = 0 sur un voisinage des orbites 1-périodiques de H 0 .
Comme le support de h est « loin » des solutions périodiques de H 0 ,
les solutions périodiques de H 0 + h sont, au moins pour h ε assez petite,
exactement les solutions périodiques de H 0 lui-même — et elles sont non
dégénérées.
8.4. Linéarisation de l’équation de Floer : calcul de la différentielle
de F
Pour éviter aux débutants de douloureuses dérivations de champs de
vecteurs et le recours à la connexion de Levi-Civita, nous allons utiliser ici
un plongement de la variété W dans R
m (m est très grand, plus grand en
tout cas que la dimension 2n de la variété). Avec
T W ⊂ R
m
× R
m pr 2
− −−− → R
m ,
les vecteurs Z i , de même que tous les vecteurs tangents à W le long de u
et même d’un voisinage B de u peuvent être considérés comme des vecteurs de R
m . De la même façon, F est considérée comme à valeurs dans
un espace vectoriel d’applications à valeurs dans R
m , C
∞ (R × S
1 ; R
m ) ou
L
p (R×S
1 ; R
m ). Pour calculer la différentielle de F, fixons donc une solution
u ∈ M(x, y) ⊂ C
∞
loc (R × S
1 ; W )
de l’équation de Floer. Le cylindre
u : R × S
1
−→ W
se complète en une sphère : les lacets x et y sont contractiles, prolongeons-les
en des disques, déterminant une application
u : S
2
−→ W
comme sur la figure 1.
Comme au chapitre 7, le fibré
u
T W est trivialisable comme fibré symplectique (grâce à l’hypothèse 6.2.2). Nous en choisissons donc une trivialisation, c’est-à-dire une base (Z 1 , . . . , Z 2n ) ∈ T u(s,t) W , dépendant de façon C
∞