8.3. L’ESPACE DES PERTURBATIONS DE H
209
Soit (x 0 , t 0 ) ∈ W × S
1 et soit B i un des domaines de cartes que nous
avons fixés, qui contient (x 0 , t 0 ) dans son intérieur. Posons z 0 = Ψ i (x 0 , t 0 ).
Choisissons σ > 0 tel que
Ψ
−1
i (B(0, σ)) ⊂
◦
Bi ∩ U
et posons V = Ψ
−1
i (B(z 0 , σ/2)).
Considérons h ∈ C
∞ (W × S
1 ), à support dans V et montrons qu’elle
satisfait à la conclusion de l’énoncé. Par la proposition 8.3.1, nous savons
que, pour une certaine suite ε et pour tout n ∈ N, il existe h n ∈ C
∞ (W ×S
1 ),
tel que
lim
n→+∞
h n = h pour la topologie C
1 .
Posons g n = (β z0,σ ◦ Ψ i ) · h n sur Ψ
−1
i (B(z 0 , σ)) et prolongeons la par 0
ailleurs. Il est clair que g n a son support dans U et que la suite g n tend vers
(β z0,σ ◦ Ψ i ) · h = h dans la topologie C
1 .
Il suffit donc de modifier la suite ε pour que g n soit dans C
∞
ε (pour cette
nouvelle suite). À cet effet, évaluons le sup de d
k g n . Commençons par la
carte Ψ i (en écrivant h n pour h n ◦ Ψ
−1
i ). On a
sup
(x,t)∈Bi
d
k g n
= sup
z∈B(0,1)
d
k (β z0,σ · h n )(z)
≤ 2
k
k
=0
sup
B(0,1)
d
k− β z0,σ
sup
B(0,1)
d
h n
≤ 2
k
k
=0
1
σ k− sup
B(0,1)
d
k− β
sup
B(0,1)
d
h n
≤
2
k
σ k β C k (B(0,1))
k
=0
sup
B(0,1)
d
h n
.
Modifions donc la suite ε en (ε
) :
ε
k =
1
k k ·
min =0,...,k ε
β C k (B(0,1))
(avec la convention 0
0 = 1). On trouve alors
ε
k sup
(x,t)∈Bi
d
k g n
≤
2
σk
k k
=0
ε sup
B(0,1)
d
h n
≤
2
σk
k h n ε .
La série dont le terme général est le membre de droite est convergente (évidemment). Pour démontrer que g n ε < +∞, il faut établir une estimation