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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
dans la topologie C
1
loc . Remarquons en effet que, pour tout compact K
sup
K
∂
∂x i
(g − f ) χ k
= sup
K
(g − f )
∂χ k
∂x i
≤ sup
K
|g − f | ·
R m
∂χ k
∂x i
dx,
d’où l’on déduit que l’ensemble
{P P χ k | P ∈ Q[X 1 , . . . , X m ], k ∈ N}
est un sous-ensemble dénombrable de C
∞ ([−M, M ]
m ) qui est dense pour la
topologie C
1 .
La preuve de la proposition 8.3.1 peut maintenant se terminer. Soit (f n )
une suite dense dans C
∞ (W ×S
1 ) pour la topologie C
1 (dont le lemme assure
l’existence). Posons
ε n = 1/(2
n max
k≤n
f k C n (W ×S 1 ) ),
avec la même convention que plus haut utilisant les difféomorphismes Ψ i
pour le calcul de la norme C
n de f k .
Pour k fixé et n ≥ k, on a donc
ε n
sup
(x,t)∈W ×S 1
|d
n f k (x, t)| ≤
1
2 n ,
de sorte que, avec ce choix de la suite ε, f k ∈ C
∞
ε pour tout k, ce qui donne
le résultat souhaité.
Remarque 8.3.3. La même démonstration donnerait la densité de C
∞
ε pour
la topologie C
∞ , mais nous utiliserons seulement la densité C
1 dans la suite.
Nous aurons aussi besoin d’une version à support compact de la proposition 8.3.1, dont voici un énoncé précis :
Proposition 8.3.4. Il existe une suite ε pour laquelle la propriété suivante
est vraie. Soit (x 0 , t 0 ) ∈ W × S
1 et soit U un voisinage de (x 0 , t 0 ). Il existe
un voisinage V ⊂ U de (x 0 , t 0 ) tel que tout h ∈ C
∞ (W × S
1 ) à support
dans V puisse être approché, pour la topologie C
1 , par des fonctions de C
∞
ε
à support dans U .
Démonstration. Fixons pour commencer une fonction β, de classe C
∞
sur R
n , à support dans B(0, 1) et qui vaut 1 sur B(0, 1/2). Pour z 0 ∈ B(0, 1)
et pour σ ∈ ]0, 1[, posons
β z0,σ (z) = β
z − z 0
σ
.