8.3. L’ESPACE DES PERTURBATIONS DE H
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Quelques précisions s’imposent ici. Tout d’abord, nous avons désigné par
d
k h(x, t)
le maximum des |d
α h(x, t)| pour tous les multi-indices α de longueur k. Ensuite, pour calculer les dérivées d’ordre supérieur, on a besoin de
cartes. On fixe donc une fois pour toutes un nombre fini de difféomorphismes
Ψ i : B i −→ B(0, 1),
de telle sorte que
i
◦
Bi = W × S
1 . Le sup apparaissant dans la formule est
alors
sup
(x,t)∈W ×S 1
d
k h(x, t)
= sup
i,z∈B(0,1)
d
k (h ◦ Ψ
−1
i )(z)
.
L’espace C
∞
ε des fonctions C
∞ sur W × S
1 dont la norme ·· ε est finie
est bien clairement un espace vectoriel normé et complet.
Il reste à vérifier que cet espace est dense dans celui des fonctions C
∞ ,
lorsque la suite ε est bien choisie. C’est ce qu’affirme la proposition suivante.
Proposition 8.3.1. On peut choisir la suite ε de façon que l’espace des fonctions C
∞
ε soit dense dans C
∞ (W × S
1 ) pour la topologie C
1 .
Démonstration. Nous utiliserons :
Lemme 8.3.2. L’espace C
∞ (W × S
1 ), muni de la topologie C
1 , est séparable.
Démonstration du lemme. En considérant un plongement de W × S
1 dans
un cube [−M, M ]
m
⊂ R
m , on voit qu’il suffit de démontrer le résultat
pour C
∞ ([−M, M ]
m ). Le théorème de Stone-Weierstrass garantit que cet
espace est séparable pour la topologie C
0 , puisqu’il affirme que sa partie
dénombrable Q[X 1 , . . . , X m ] est dense.
Pour démontrer l’assertion analogue pour la topologie C
1 , on fixe une
fonction χ ∈ C
∞ ([−M, M ]
m ), d’intégrale égale à 1 et dont le support
est contenu dans B(0, 1). On considère la suite (χ k ) définie par χ k (x) =
k
m χ(kx). On démontre facilement que, pour une fonction f ∈ C
∞ (R
m ), la
suite de convolées
f f χ k (x) =
R m
f (x − y) · χ k (y) dy
tend vers f (au sens C
0
loc ) (voir par exemple [9, § 3.4]). Ensuite, pour
chaque k fixé, si g tend vers f pour → +∞ et pour la topologie C
∞
loc , on a
lim
→+∞
g χ k = f f χ k
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Quelques précisions s’imposent ici. Tout d’abord, nous avons désigné par
d
k h(x, t)
le maximum des |d
α h(x, t)| pour tous les multi-indices α de longueur k. Ensuite, pour calculer les dérivées d’ordre supérieur, on a besoin de
cartes. On fixe donc une fois pour toutes un nombre fini de difféomorphismes
Ψ i : B i −→ B(0, 1),
de telle sorte que
i
◦
Bi = W × S
1 . Le sup apparaissant dans la formule est
alors
sup
(x,t)∈W ×S 1
d
k h(x, t)
= sup
i,z∈B(0,1)
d
k (h ◦ Ψ
−1
i )(z)
.
L’espace C
∞
ε des fonctions C
∞ sur W × S
1 dont la norme ·· ε est finie
est bien clairement un espace vectoriel normé et complet.
Il reste à vérifier que cet espace est dense dans celui des fonctions C
∞ ,
lorsque la suite ε est bien choisie. C’est ce qu’affirme la proposition suivante.
Proposition 8.3.1. On peut choisir la suite ε de façon que l’espace des fonctions C
∞
ε soit dense dans C
∞ (W × S
1 ) pour la topologie C
1 .
Démonstration. Nous utiliserons :
Lemme 8.3.2. L’espace C
∞ (W × S
1 ), muni de la topologie C
1 , est séparable.
Démonstration du lemme. En considérant un plongement de W × S
1 dans
un cube [−M, M ]
m
⊂ R
m , on voit qu’il suffit de démontrer le résultat
pour C
∞ ([−M, M ]
m ). Le théorème de Stone-Weierstrass garantit que cet
espace est séparable pour la topologie C
0 , puisqu’il affirme que sa partie
dénombrable Q[X 1 , . . . , X m ] est dense.
Pour démontrer l’assertion analogue pour la topologie C
1 , on fixe une
fonction χ ∈ C
∞ ([−M, M ]
m ), d’intégrale égale à 1 et dont le support
est contenu dans B(0, 1). On considère la suite (χ k ) définie par χ k (x) =
k
m χ(kx). On démontre facilement que, pour une fonction f ∈ C
∞ (R
m ), la
suite de convolées
f f χ k (x) =
R m
f (x − y) · χ k (y) dy
tend vers f (au sens C
0
loc ) (voir par exemple [9, § 3.4]). Ensuite, pour
chaque k fixé, si g tend vers f pour → +∞ et pour la topologie C
∞
loc , on a
lim
→+∞
g χ k = f f χ k