206
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Notons ρ inj le rayon d’injectivité (voir au besoin le § 14.5) de la métrique
définie sur W . Fixons un r 0 < ρ inj . Définissons
Φ w :
Y ∈ W
1,p (w
T W ) | |Y W 1,p ≤ r 0 /K
−→ P(x, y)
(w, Y ) −→ exp w (Y ).
C’est une bijection et, comme au § 6.8, c’est-à-dire comme dans [62] les Φ w
(pour w ∈ C
∞
(x, y)) forment un atlas pour P
1,p (x, y).
Faisons figurer dans la notation la structure presque complexe J et le
hamiltonien H qui définissent l’équation de Floer en question, écrivant
– M(J, H) pour l’espace des solutions contractiles d’énergie finie,
– M(x, y, J, H) pour celles joignant x à y — attention, x et y sont des
trajectoires périodiques de X t = X Ht et, dans ces notations, dépendent du
hamiltonien H.
L’application de Floer. Nous souhaitons définir maintenant l’« application de Floer » F
F : P
1,p (x, y) −→ L
p (R × S
1 ; T W )
par
F(u) =
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u).
Par définition de P
1,p (x, y) ses éléments u s’écrivent u = exp w (X) pour un
w ∈ C
∞ (R × S
1 ; W ) à décroissance exponentielle et X ∈ W
1,p (w
T W ).
Il est donc nécessaire de vérifier que F prend bien ses valeurs dans L
p ,
c’est-à-dire que
F(exp w X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ),
ce que nous ferons au § 13.3.
8.3. L’espace des perturbations de H
Nous voulons montrer que, arbitrairement près (au sens de la topologie C
∞ ) d’un hamiltonien H fixé, il existe un hamiltonien qui a exactement
les mêmes orbites périodiques et pour lequel les M(x, y) sont en effet des
variétés de la dimension attendue.
Nous construisons maintenant l’espace C
∞
ε (H) de perturbations de H
annoncé au début de ce chapitre.
Fixons une suite (à préciser) ε = (ε n ) de nombres réels strictement positifs, et définissons :
h ε =
k≥0
ε k
sup
(x,t)∈W ×S 1
d
k h(x, t)
.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Notons ρ inj le rayon d’injectivité (voir au besoin le § 14.5) de la métrique
définie sur W . Fixons un r 0 < ρ inj . Définissons
Φ w :
Y ∈ W
1,p (w
T W ) | |Y W 1,p ≤ r 0 /K
−→ P(x, y)
(w, Y ) −→ exp w (Y ).
C’est une bijection et, comme au § 6.8, c’est-à-dire comme dans [62] les Φ w
(pour w ∈ C
∞
(x, y)) forment un atlas pour P
1,p (x, y).
Faisons figurer dans la notation la structure presque complexe J et le
hamiltonien H qui définissent l’équation de Floer en question, écrivant
– M(J, H) pour l’espace des solutions contractiles d’énergie finie,
– M(x, y, J, H) pour celles joignant x à y — attention, x et y sont des
trajectoires périodiques de X t = X Ht et, dans ces notations, dépendent du
hamiltonien H.
L’application de Floer. Nous souhaitons définir maintenant l’« application de Floer » F
F : P
1,p (x, y) −→ L
p (R × S
1 ; T W )
par
F(u) =
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u).
Par définition de P
1,p (x, y) ses éléments u s’écrivent u = exp w (X) pour un
w ∈ C
∞ (R × S
1 ; W ) à décroissance exponentielle et X ∈ W
1,p (w
T W ).
Il est donc nécessaire de vérifier que F prend bien ses valeurs dans L
p ,
c’est-à-dire que
F(exp w X) ∈ L
p (R × S
1 ; R
m ),
ce que nous ferons au § 13.3.
8.3. L’espace des perturbations de H
Nous voulons montrer que, arbitrairement près (au sens de la topologie C
∞ ) d’un hamiltonien H fixé, il existe un hamiltonien qui a exactement
les mêmes orbites périodiques et pour lequel les M(x, y) sont en effet des
variétés de la dimension attendue.
Nous construisons maintenant l’espace C
∞
ε (H) de perturbations de H
annoncé au début de ce chapitre.
Fixons une suite (à préciser) ε = (ε n ) de nombres réels strictement positifs, et définissons :
h ε =
k≥0
ε k
sup
(x,t)∈W ×S 1
d
k h(x, t)
.