8.2. LA VARIÉTÉ DE BANACH P
1,p (x, y)
205
Lemme 8.2.4. Soient f ∈ W
1,p (R × S
1 ; R) et g ∈ C
∞ (R × S
1 ; R), telles
que g et ses dérivées ∂g/∂s, ∂g/∂t soient bornées sur R × S
1 . Alors le
produit fg est dans W
1,p (R × S
1 ; R) et satisfait à l’inégalité
fg W 1,p ≤ ≤f W 1,p
sup
R×S 1
(|g| , |∂g/∂s| , |∂g/∂t|)
.
De même, si f ∈ L
p (R × S
1 ; R) et si g ∈ C
0 (R × S
1 ; R) est une fonction
bornée (et en particulier si g ∈ W
1,p (R × S
1 ; R)), le produit fg est dans
L
p (R × S
1 ; R) et satisfait à l’inégalité
fg L p ≤ ≤f p sup |g| .
En notations simplifiées, les deux inégalités pourraient s’écrire (et nous
les écrirons)
fg W 1,p ≤ ≤f W 1,p g C 1 et fg L p ≤ ≤f L p g C 0 .
Démonstration. Elle est fondée sur les inégalités
R×S 1
|fg|
p
1/p
≤
R×S 1
|f |
p (sup |g|)
p
1/p
= f L p sup |g| ,
et
R×S 1
|∂(fg)/∂s|
p
1/p
≤
R×S 1
|∂f /∂s| |g| + |∂g/∂s| |f |
p
1/p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s|
|∂f /∂s| + |f || L p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s|
∂f /∂s L p + f L p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s| , |∂g/∂t|
f W 1,p
et de même pour ∂(fg)/∂t.
8.2.d. Structure de variété de Banach sur P(x, y). L’espace P
1,p (x, y)
(définition 8.2.2) est une variété de Banach modelée sur W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
C’est une propriété analogue à celle de L
1,p (W ) (voir le § 6.8). Définissons
donc (de façon analogue), un atlas. Soient, comme ci-dessus, w ∈ C
∞
(x, y)
et (Z i ) un repère orthonormé le long de w, de sorte que W
1,p (w
T W ) est
identifié à W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Comme nous avons supposé que p > 2, nous
savons que
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
∞ (R × S
1 ; R
2n )
et que cette injection est continue (voir le théorème 16.4.9). Donc,
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), Y L ∞ ≤ K Y W 1,p .
1,p (x, y)
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Lemme 8.2.4. Soient f ∈ W
1,p (R × S
1 ; R) et g ∈ C
∞ (R × S
1 ; R), telles
que g et ses dérivées ∂g/∂s, ∂g/∂t soient bornées sur R × S
1 . Alors le
produit fg est dans W
1,p (R × S
1 ; R) et satisfait à l’inégalité
fg W 1,p ≤ ≤f W 1,p
sup
R×S 1
(|g| , |∂g/∂s| , |∂g/∂t|)
.
De même, si f ∈ L
p (R × S
1 ; R) et si g ∈ C
0 (R × S
1 ; R) est une fonction
bornée (et en particulier si g ∈ W
1,p (R × S
1 ; R)), le produit fg est dans
L
p (R × S
1 ; R) et satisfait à l’inégalité
fg L p ≤ ≤f p sup |g| .
En notations simplifiées, les deux inégalités pourraient s’écrire (et nous
les écrirons)
fg W 1,p ≤ ≤f W 1,p g C 1 et fg L p ≤ ≤f L p g C 0 .
Démonstration. Elle est fondée sur les inégalités
R×S 1
|fg|
p
1/p
≤
R×S 1
|f |
p (sup |g|)
p
1/p
= f L p sup |g| ,
et
R×S 1
|∂(fg)/∂s|
p
1/p
≤
R×S 1
|∂f /∂s| |g| + |∂g/∂s| |f |
p
1/p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s|
|∂f /∂s| + |f || L p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s|
∂f /∂s L p + f L p
≤ sup
|g| , |∂g/∂s| , |∂g/∂t|
f W 1,p
et de même pour ∂(fg)/∂t.
8.2.d. Structure de variété de Banach sur P(x, y). L’espace P
1,p (x, y)
(définition 8.2.2) est une variété de Banach modelée sur W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
C’est une propriété analogue à celle de L
1,p (W ) (voir le § 6.8). Définissons
donc (de façon analogue), un atlas. Soient, comme ci-dessus, w ∈ C
∞
(x, y)
et (Z i ) un repère orthonormé le long de w, de sorte que W
1,p (w
T W ) est
identifié à W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Comme nous avons supposé que p > 2, nous
savons que
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
∞ (R × S
1 ; R
2n )
et que cette injection est continue (voir le théorème 16.4.9). Donc,
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), Y L ∞ ≤ K Y W 1,p .