204
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Avant de préciser la définition des espaces W
1,p (w
T W ) utilisés, remarquons :
Proposition 8.2.3. Si x et y sont des lacets contractiles et des points critiques
non dégénérés de la fonctionnelle d’action A H , on a
M(x, y) ⊂ C
∞
(x, y) ⊂ P
1,p (x, y).
Démonstration. C’est une application du résultat de décroissance exponentielle (c’est-à-dire du théorème 8.9.1 et de la remarque 8.9.3).
Définition de W
1,p (w
T W ). Si w : R × S
1
→ W est une application de
classe C
∞ , voici la définition de W
1,p (w
T W ). La variété symplectique W
est plongée dans un espace R
m . Nous dirons que Y ∈ W
1,p (w
T W ) si Y
est une application continue
(3)
Y : R × S
1
−→ T W
telle que Y (s, t) ∈ T w(s,t) W pour tous (s, t) et vérifie que la composition
R × S
1 Y
− −− → T W ⊂ T R
m = R
m
× R
m pr 2
− −−− → R
m
est dans W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Il est aussi possible de le définir en utilisant une trivialisation
(4) de w
T W
plutôt qu’un plongement de W dans R
m . Considérons w : R × S
1
→ W
définie par
w(s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t)
s = −∞
w(s, t) s ∈ R
y(t)
s = +∞
ainsi qu’un repère orthonormé (Z i (s, t)) i=1,...,2n le long de w. Dans ce repère, Y s’écrit
Y (s, t) =
2n
i=1
y i (s, t)Z i (s, t)
où les coordonnées y i : R × S
1
→ R
2n sont définies par y i = Y, Z i . Le
champ de vecteurs Y le long de w est dans W
1,p (w
T W ) si et seulement si
le vecteur (y 1 , . . . , y 2n ) est dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Que les deux définitions soient équivalentes est une conséquence d’un
lemme facile.
(3) Nous supposons donc p > 2.
(4) Il en existe, nous l’avons vu, parce que les lacets x et y sont contractiles et que notre
variété satisfait à l’hypothèse 6.2.2.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Avant de préciser la définition des espaces W
1,p (w
T W ) utilisés, remarquons :
Proposition 8.2.3. Si x et y sont des lacets contractiles et des points critiques
non dégénérés de la fonctionnelle d’action A H , on a
M(x, y) ⊂ C
∞
(x, y) ⊂ P
1,p (x, y).
Démonstration. C’est une application du résultat de décroissance exponentielle (c’est-à-dire du théorème 8.9.1 et de la remarque 8.9.3).
Définition de W
1,p (w
T W ). Si w : R × S
1
→ W est une application de
classe C
∞ , voici la définition de W
1,p (w
T W ). La variété symplectique W
est plongée dans un espace R
m . Nous dirons que Y ∈ W
1,p (w
T W ) si Y
est une application continue
(3)
Y : R × S
1
−→ T W
telle que Y (s, t) ∈ T w(s,t) W pour tous (s, t) et vérifie que la composition
R × S
1 Y
− −− → T W ⊂ T R
m = R
m
× R
m pr 2
− −−− → R
m
est dans W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Il est aussi possible de le définir en utilisant une trivialisation
(4) de w
T W
plutôt qu’un plongement de W dans R
m . Considérons w : R × S
1
→ W
définie par
w(s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t)
s = −∞
w(s, t) s ∈ R
y(t)
s = +∞
ainsi qu’un repère orthonormé (Z i (s, t)) i=1,...,2n le long de w. Dans ce repère, Y s’écrit
Y (s, t) =
2n
i=1
y i (s, t)Z i (s, t)
où les coordonnées y i : R × S
1
→ R
2n sont définies par y i = Y, Z i . Le
champ de vecteurs Y le long de w est dans W
1,p (w
T W ) si et seulement si
le vecteur (y 1 , . . . , y 2n ) est dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Que les deux définitions soient équivalentes est une conséquence d’un
lemme facile.
(3) Nous supposons donc p > 2.
(4) Il en existe, nous l’avons vu, parce que les lacets x et y sont contractiles et que notre
variété satisfait à l’hypothèse 6.2.2.