8.2. LA VARIÉTÉ DE BANACH P
1,p (x, y)
203
de Hilbert, il va donc nous falloir travailler avec des W
1,p pour p > 2 (pour
des explications détaillées de l’utilisation de cette condition cruciale, voir
le § 12.1.b).
8.2.b. Les normes qui vont intervenir. La variété symplectique W est
toujours plongée dans un grand R
m . Nous appelons T W R
m la restriction
à W du fibré tangent T R
m (on a T W R
m ∼ = W × R
m ). Sur W , nous avons
la métrique riemannienne g définie par ω et J, pour mémoire
g a (v, w) = ω a (v, Jw), pour a ∈ W, v, w ∈ T a W.
En utilisant une partition de l’unité, on peut prolonger cette métrique à
T W R
m en
g : W × R
m
× R
m
−→ R,
telle que
g(a, ·, ·) soit, pour tout a dans W , une forme bilinéaire symétrique
définie positive. Le produit scalaire usuel sur R
m est noté , (ou même
parfois simplement · ).
8.2.c. Les espaces de trajectoires. Nous désignerons comme ci-dessus,
par ·· W 1,p (resp. ·· L p ) les normes de Sobolev sur W
1,p (R × S
1 ; R
m ) et
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (resp. L
p (R × S
1 ; R
m ), L
p (R × S
1 ; R
2n )). Remarquons
que la norme sur les espaces R
N (R
m ou R
2n ) qui intervient dans les
définitions de ·· W 1,p et ·· L p est la norme euclidienne, pas celle définie
par
g.
Finalement, pour des opérateurs linéaires entre espaces de Banach, nous
noterons (lorsque des nécessités de clarté nous y obligeront) ··
op leur norme
opératorielle,
A
op = sup
x=1
Ax .
Si x et y sont des lacets contractiles dans W , appelons C
∞
(x, y) l’ensemble
des applications de classe C
∞
u : R × S
1
−→ W
telles que
lim
s→−∞
u(s, t) = x(t),
lim
s→+∞
u(s, t) = y(t) et
∂u
∂s
(s, t)
≤ Ke
−δ|s|
pour des constantes K et δ positives (qui dépendent de u).
Définition 8.2.2. Pour p > 2, P
1,p (x, y) (ou P(x, y) en sous-entendant les
exposants) désigne l’espace des applications C
∞ de la forme
(s, t) −→ exp w(s,t) Y (s, t)
où Y ∈ W
1,p (w
T W ), w ∈ C
∞
(x, y).
1,p (x, y)
203
de Hilbert, il va donc nous falloir travailler avec des W
1,p pour p > 2 (pour
des explications détaillées de l’utilisation de cette condition cruciale, voir
le § 12.1.b).
8.2.b. Les normes qui vont intervenir. La variété symplectique W est
toujours plongée dans un grand R
m . Nous appelons T W R
m la restriction
à W du fibré tangent T R
m (on a T W R
m ∼ = W × R
m ). Sur W , nous avons
la métrique riemannienne g définie par ω et J, pour mémoire
g a (v, w) = ω a (v, Jw), pour a ∈ W, v, w ∈ T a W.
En utilisant une partition de l’unité, on peut prolonger cette métrique à
T W R
m en
g : W × R
m
× R
m
−→ R,
telle que
g(a, ·, ·) soit, pour tout a dans W , une forme bilinéaire symétrique
définie positive. Le produit scalaire usuel sur R
m est noté , (ou même
parfois simplement · ).
8.2.c. Les espaces de trajectoires. Nous désignerons comme ci-dessus,
par ·· W 1,p (resp. ·· L p ) les normes de Sobolev sur W
1,p (R × S
1 ; R
m ) et
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (resp. L
p (R × S
1 ; R
m ), L
p (R × S
1 ; R
2n )). Remarquons
que la norme sur les espaces R
N (R
m ou R
2n ) qui intervient dans les
définitions de ·· W 1,p et ·· L p est la norme euclidienne, pas celle définie
par
g.
Finalement, pour des opérateurs linéaires entre espaces de Banach, nous
noterons (lorsque des nécessités de clarté nous y obligeront) ··
op leur norme
opératorielle,
A
op = sup
x=1
Ax .
Si x et y sont des lacets contractiles dans W , appelons C
∞
(x, y) l’ensemble
des applications de classe C
∞
u : R × S
1
−→ W
telles que
lim
s→−∞
u(s, t) = x(t),
lim
s→+∞
u(s, t) = y(t) et
∂u
∂s
(s, t)
≤ Ke
−δ|s|
pour des constantes K et δ positives (qui dépendent de u).
Définition 8.2.2. Pour p > 2, P
1,p (x, y) (ou P(x, y) en sous-entendant les
exposants) désigne l’espace des applications C
∞ de la forme
(s, t) −→ exp w(s,t) Y (s, t)
où Y ∈ W
1,p (w
T W ), w ∈ C
∞
(x, y).