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CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
8.2. La variété de Banach P
1,p (x, y)
8.2.a. Les espaces de Sobolev utilisés. Nous avons besoin de travailler
dans des espaces de Banach, ce que les espaces d’applications C
∞ ne sont
pas. De même qu’au § 6.8 nous avons considéré les lacets de classe W
1,p
sur W , nous allons considérer ici une structure analogue sur l’espace des u.
C’est un peu plus compliqué, et ceci pour deux raisons,
– d’abord parce que les u sont définis sur un espace de dimension 2,
l’espace R × S
1 des (s, t),
– ensuite parce que la variable s varie dans l’espace non compact R.
Les espaces fonctionnels que nous utilisons sont des complétions des espaces
de sections C
∞ (avec décroissance suffisante à l’infini), pour les « normes de
Sobolev »
Y L p =
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p ds dt
1/p
et
Y W 1,p =
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p +
∂Y
∂s
(s, t)
p
+
∂Y
∂t
(s, t)
p
ds dt
1/p
pour p ∈ ]1, +∞[, des espaces de Sobolev (des espaces de Banach, par
définition), respectivement
L
p (R × S
1 ; R
2n ) et W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Remarque 8.2.1. Les espaces de Sobolev W
1,p peuvent aussi être définis
comme des espaces de distributions. C’est le meilleur point de vue, puisqu’ainsi un élément de W
1,p n’est pas une classe d’équivalence de suites de
Cauchy de fonctions C
∞ mais une distribution, de sorte qu’à ce titre il a
une dérivée, etc. Voir le § 16.4.
Remarquons immédiatement une difficulté. En dimension 1, c’est-à-dire
pour un intervalle borné I de R, W
1,p (I) est contenu dans l’espace des
fonctions continues sur I, et ceci pour tout p ≥ 1. Ce n’est plus vrai en dimension ≥ 2 (et nous avons malheureusement affaire à un espace de départ,
R × S
1 , qui est de dimension 2). Pour U borné (et à bord assez régulier)
dans R
m , on n’a
W
1,p (U ) ⊂ C
0 (U )
que pour p > m (voir le § 16.4). Une des difficultés de ce qui suit vient
du fait que les éléments de W
1,2 (R × S
1 ; R
2n ) ne sont pas des fonctions
continues
(2) . Quel que soit notre désir de rester dans ce sympathique espace
(2) Et nous voulons travailler avec des fonctions continues pour pouvoir utiliser les résultats de régularité et de compacité 6.5.3 et 6.5.4.
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
8.2. La variété de Banach P
1,p (x, y)
8.2.a. Les espaces de Sobolev utilisés. Nous avons besoin de travailler
dans des espaces de Banach, ce que les espaces d’applications C
∞ ne sont
pas. De même qu’au § 6.8 nous avons considéré les lacets de classe W
1,p
sur W , nous allons considérer ici une structure analogue sur l’espace des u.
C’est un peu plus compliqué, et ceci pour deux raisons,
– d’abord parce que les u sont définis sur un espace de dimension 2,
l’espace R × S
1 des (s, t),
– ensuite parce que la variable s varie dans l’espace non compact R.
Les espaces fonctionnels que nous utilisons sont des complétions des espaces
de sections C
∞ (avec décroissance suffisante à l’infini), pour les « normes de
Sobolev »
Y L p =
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p ds dt
1/p
et
Y W 1,p =
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p +
∂Y
∂s
(s, t)
p
+
∂Y
∂t
(s, t)
p
ds dt
1/p
pour p ∈ ]1, +∞[, des espaces de Sobolev (des espaces de Banach, par
définition), respectivement
L
p (R × S
1 ; R
2n ) et W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Remarque 8.2.1. Les espaces de Sobolev W
1,p peuvent aussi être définis
comme des espaces de distributions. C’est le meilleur point de vue, puisqu’ainsi un élément de W
1,p n’est pas une classe d’équivalence de suites de
Cauchy de fonctions C
∞ mais une distribution, de sorte qu’à ce titre il a
une dérivée, etc. Voir le § 16.4.
Remarquons immédiatement une difficulté. En dimension 1, c’est-à-dire
pour un intervalle borné I de R, W
1,p (I) est contenu dans l’espace des
fonctions continues sur I, et ceci pour tout p ≥ 1. Ce n’est plus vrai en dimension ≥ 2 (et nous avons malheureusement affaire à un espace de départ,
R × S
1 , qui est de dimension 2). Pour U borné (et à bord assez régulier)
dans R
m , on n’a
W
1,p (U ) ⊂ C
0 (U )
que pour p > m (voir le § 16.4). Une des difficultés de ce qui suit vient
du fait que les éléments de W
1,2 (R × S
1 ; R
2n ) ne sont pas des fonctions
continues
(2) . Quel que soit notre désir de rester dans ce sympathique espace
(2) Et nous voulons travailler avec des fonctions continues pour pouvoir utiliser les résultats de régularité et de compacité 6.5.3 et 6.5.4.