8.1. LES RÉSULTATS : ÉNONCÉS
201
Rappelons qu’un opérateur linéaire (continu) L : E → F d’un espace
de Banach E dans un espace de Banach F est un opérateur à indice ou
de Fredholm si son image est un sous-espace fermé et si son noyau et son
conoyau sont des sous-espaces de dimension finie. L’indice d’un opérateur à
indice est la différence
Ind L = dim Ker L − dim Coker L.
Une application différentiable d’un espace de Banach dans un autre est
une application de Fredholm si sa différentielle est, en chaque point, un
opérateur à indice. Dans la pratique, nous utiliserons souvent indifféremment Fredholm (même pour les opérateurs linéaires) ou à indice (même
pour les non linéaires). Les propriétés utiles des opérateurs à indice et/ou
de Fredholm sont rassemblées au § 16.2.
Voici comment ce chapitre est organisé : pour commencer, nous décrivons
les espaces de trajectoires qui nous intéressent ici, en utilisant les normes
de Sobolev (1, p) (au § 8.2). Nous définissons ensuite l’espace de Banach
des perturbations du hamiltonien (au § 8.3). Nous en venons ensuite aux
démonstrations proprement dites :
– au § 8.4, nous calculons la différentielle de l’application de Floer,
– au § 8.5, nous démontrons la propriété de transversalité (c’est-à-dire
les propositions 8.1.3 et 8.1.4), modulo quelques propriétés des solutions de
l’équation de Floer — en utilisant la propriété de Fredholm (ici le théorème
8.1.5) de l’application de Floer...
– ... que nous démontrons au § 8.7.
– Auparavant, au § 8.6, nous établissons les propriétés des solutions de
l’équation de Floer (« injectivité », principe de prolongement) que nous
avons utilisées.
– Le calcul de l’indice fait l’objet du § 8.8.
– Au § 8.9, nous démontrons une indispensable propriété de décroissance
(exponentielle) à l’infini des solutions de l’équation de Floer.
Nous aurions pu aussi bien adopter l’ordre 8.4, 8.7, 8.8, 8.9, 8.6, 8.5...
Le plan qui suit devrait aider les lecteurs à se repérer dans le labyrinthe
des énoncés de ce chapitre.
8.1.5
+ Q
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
8.1.4
+ Q 8.1.3
j j j j j j j j j j j j j j
8.1.1
+ Q 8.1.2
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Rappelons qu’un opérateur linéaire (continu) L : E → F d’un espace
de Banach E dans un espace de Banach F est un opérateur à indice ou
de Fredholm si son image est un sous-espace fermé et si son noyau et son
conoyau sont des sous-espaces de dimension finie. L’indice d’un opérateur à
indice est la différence
Ind L = dim Ker L − dim Coker L.
Une application différentiable d’un espace de Banach dans un autre est
une application de Fredholm si sa différentielle est, en chaque point, un
opérateur à indice. Dans la pratique, nous utiliserons souvent indifféremment Fredholm (même pour les opérateurs linéaires) ou à indice (même
pour les non linéaires). Les propriétés utiles des opérateurs à indice et/ou
de Fredholm sont rassemblées au § 16.2.
Voici comment ce chapitre est organisé : pour commencer, nous décrivons
les espaces de trajectoires qui nous intéressent ici, en utilisant les normes
de Sobolev (1, p) (au § 8.2). Nous définissons ensuite l’espace de Banach
des perturbations du hamiltonien (au § 8.3). Nous en venons ensuite aux
démonstrations proprement dites :
– au § 8.4, nous calculons la différentielle de l’application de Floer,
– au § 8.5, nous démontrons la propriété de transversalité (c’est-à-dire
les propositions 8.1.3 et 8.1.4), modulo quelques propriétés des solutions de
l’équation de Floer — en utilisant la propriété de Fredholm (ici le théorème
8.1.5) de l’application de Floer...
– ... que nous démontrons au § 8.7.
– Auparavant, au § 8.6, nous établissons les propriétés des solutions de
l’équation de Floer (« injectivité », principe de prolongement) que nous
avons utilisées.
– Le calcul de l’indice fait l’objet du § 8.8.
– Au § 8.9, nous démontrons une indispensable propriété de décroissance
(exponentielle) à l’infini des solutions de l’équation de Floer.
Nous aurions pu aussi bien adopter l’ordre 8.4, 8.7, 8.8, 8.9, 8.6, 8.5...
Le plan qui suit devrait aider les lecteurs à se repérer dans le labyrinthe
des énoncés de ce chapitre.
8.1.5
+ Q
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
8.1.4
+ Q 8.1.3
j j j j j j j j j j j j j j
8.1.1
+ Q 8.1.2