200
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
de l’application de Floer est surjective. Nous explicitons cette différentielle
au § 8.4. Nous notons M(H, J) l’espace de ces solutions contractiles périodiques de période 1 et (J × H) r´ eg l’ensemble des couples réguliers. Nous
démontrons que, pour J fixée, au besoin en perturbant H, le couple (J, H)
peut être rendu régulier, plus précisément, nous définissons (au § 8.3) un
espace de Banach C
∞
ε (H) de perturbations de H qui ont les mêmes orbites
périodiques que H et nous montrons :
Théorème 8.1.1. Soit H 0 un hamiltonien non dégénéré fixé. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε (H 0 ) et une intersection dénombrable d’ouverts denses
H r´ eg dans ce voisinage telle que, si h ∈ H r´ eg , H = H 0 + h est non dégénéré
et, pour u ∈ M(H 0 + h, J), l’application (dF) u est surjective.
La notion de non-dégénérescence utilisée ici est celle définie au § 5.4 (définition 5.4.4). De ce résultat, nous déduirons celui qui est notre objectif
dans ce chapitre :
Théorème 8.1.2. Pour tout h ∈ H r´ eg , pour toutes orbites contractiles x et y
de période 1 de H 0 , M(x, y, H 0 +h) est une variété de dimension μ(x)−μ(y).
Nous commencerons par montrer que l’espace de toutes les trajectoires
des hamiltoniens perturbés joignant x à y est une variété de Banach (de
dimension infinie). Nous définirons précisément
Z(x, y, J) = {(u, H = H 0 + h) | h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et u ∈ M(x, y, J, H)}
et nous démontrerons :
Proposition 8.1.3. Pour x = y, Z(x, y, J) est une variété (de Banach).
Ce sera une conséquence, via le théorème des fonctions implicites, de la
proposition, dite de transversalité :
Proposition 8.1.4. Si (u, H) ∈ Z(x, y), alors
Γ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
(Y, h) −→ (dF
H ) u (Y ) + grad u h
(où H = H 0 +h et F
H est l’opérateur de Floer correspondant) est surjective.
Nous explicitons la définition de Γ, et surtout le fait qu’elle soit définie
sur les espaces considérés, au § 8.5.a. Pour finir de démontrer les théorèmes
8.1.1 et 8.1.2, il restera à démontrer :
Théorème 8.1.5. Pour tout hamiltonien H non dégénéré, pour toute structure
presque complexe J calibrée par ω, pour tout u ∈ M(x, y, J, H), (dF) u est
un opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).
CHAPITRE 8. LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
de l’application de Floer est surjective. Nous explicitons cette différentielle
au § 8.4. Nous notons M(H, J) l’espace de ces solutions contractiles périodiques de période 1 et (J × H) r´ eg l’ensemble des couples réguliers. Nous
démontrons que, pour J fixée, au besoin en perturbant H, le couple (J, H)
peut être rendu régulier, plus précisément, nous définissons (au § 8.3) un
espace de Banach C
∞
ε (H) de perturbations de H qui ont les mêmes orbites
périodiques que H et nous montrons :
Théorème 8.1.1. Soit H 0 un hamiltonien non dégénéré fixé. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε (H 0 ) et une intersection dénombrable d’ouverts denses
H r´ eg dans ce voisinage telle que, si h ∈ H r´ eg , H = H 0 + h est non dégénéré
et, pour u ∈ M(H 0 + h, J), l’application (dF) u est surjective.
La notion de non-dégénérescence utilisée ici est celle définie au § 5.4 (définition 5.4.4). De ce résultat, nous déduirons celui qui est notre objectif
dans ce chapitre :
Théorème 8.1.2. Pour tout h ∈ H r´ eg , pour toutes orbites contractiles x et y
de période 1 de H 0 , M(x, y, H 0 +h) est une variété de dimension μ(x)−μ(y).
Nous commencerons par montrer que l’espace de toutes les trajectoires
des hamiltoniens perturbés joignant x à y est une variété de Banach (de
dimension infinie). Nous définirons précisément
Z(x, y, J) = {(u, H = H 0 + h) | h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et u ∈ M(x, y, J, H)}
et nous démontrerons :
Proposition 8.1.3. Pour x = y, Z(x, y, J) est une variété (de Banach).
Ce sera une conséquence, via le théorème des fonctions implicites, de la
proposition, dite de transversalité :
Proposition 8.1.4. Si (u, H) ∈ Z(x, y), alors
Γ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
(Y, h) −→ (dF
H ) u (Y ) + grad u h
(où H = H 0 +h et F
H est l’opérateur de Floer correspondant) est surjective.
Nous explicitons la définition de Γ, et surtout le fait qu’elle soit définie
sur les espaces considérés, au § 8.5.a. Pour finir de démontrer les théorèmes
8.1.1 et 8.1.2, il restera à démontrer :
Théorème 8.1.5. Pour tout hamiltonien H non dégénéré, pour toute structure
presque complexe J calibrée par ω, pour tout u ∈ M(x, y, J, H), (dF) u est
un opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).