CHAPITRE 8
LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Dans ce chapitre, nous montrons que les espaces de solutions de l’équation de Floer jouissent d’une propriété de régularité. Plus précisément :
si H est un hamiltonien sur W , et si x et y sont deux orbites périodiques
(de période 1) de H, on peut considérer, pour toute structure presque
complexe J, l’espace M(x, y) des solutions de l’équation de Floer joignant
l’orbite x à l’orbite y. Nous montrons qu’en perturbant au besoin H (sans
le modifier près de x et de y, de sorte que ceux-ci en restent des orbites périodiques), on peut supposer que l’espace M(x, y) est une variété de dimension μ(x) − μ(y). La stratégie consiste à décrire l’espace M(x, y) comme
ensemble des zéros d’une section d’un fibré vectoriel sur une variété de
Banach (de dimension infinie) P(x, y). L’application tangente à cette section se révélera être un opérateur de Fredholm, dont il nous faudra calculer
l’indice. Le choix de la perturbation de J et de H donnera la transversalité
de cette section avec la section nulle.
8.1. Les résultats : énoncés
Nous utilisons l’application de Floer
F : C
∞
loc (R × S
1 ; W ) −→ C
∞
loc (R × S
1 ; W )
u −→
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H t )
et plus exactement une version W
1,p de cette application (que nous
préciserons au § 8.2.d). L’équation de Floer fait intervenir une structure
presque complexe J et un hamiltonien H. Nous dirons qu’un couple
(H, J) est régulier si, pour toute solution périodique de période
(1) 1 et
contractile u de l’équation de Floer, la différentielle (ou linéarisée) (dF) u
(1) Le fait que la période soit exactement 1 ne joue pas de rôle particulier. Par contre, il
est essentiel que cette période soit fixée.
LINÉARISATION ET TRANSVERSALITÉ
Dans ce chapitre, nous montrons que les espaces de solutions de l’équation de Floer jouissent d’une propriété de régularité. Plus précisément :
si H est un hamiltonien sur W , et si x et y sont deux orbites périodiques
(de période 1) de H, on peut considérer, pour toute structure presque
complexe J, l’espace M(x, y) des solutions de l’équation de Floer joignant
l’orbite x à l’orbite y. Nous montrons qu’en perturbant au besoin H (sans
le modifier près de x et de y, de sorte que ceux-ci en restent des orbites périodiques), on peut supposer que l’espace M(x, y) est une variété de dimension μ(x) − μ(y). La stratégie consiste à décrire l’espace M(x, y) comme
ensemble des zéros d’une section d’un fibré vectoriel sur une variété de
Banach (de dimension infinie) P(x, y). L’application tangente à cette section se révélera être un opérateur de Fredholm, dont il nous faudra calculer
l’indice. Le choix de la perturbation de J et de H donnera la transversalité
de cette section avec la section nulle.
8.1. Les résultats : énoncés
Nous utilisons l’application de Floer
F : C
∞
loc (R × S
1 ; W ) −→ C
∞
loc (R × S
1 ; W )
u −→
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+ grad u (H t )
et plus exactement une version W
1,p de cette application (que nous
préciserons au § 8.2.d). L’équation de Floer fait intervenir une structure
presque complexe J et un hamiltonien H. Nous dirons qu’un couple
(H, J) est régulier si, pour toute solution périodique de période
(1) 1 et
contractile u de l’équation de Floer, la différentielle (ou linéarisée) (dF) u
(1) Le fait que la période soit exactement 1 ne joue pas de rôle particulier. Par contre, il
est essentiel que cette période soit fixée.