196
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
autres que λ et λ sont inchangées. On a introduit de nouvelles valeurs
propres, β(s)λ et β(s)λ(s) ∈ C − (S
1
− R) pour la matrice A(s), de
sorte que 1/β(s)λ(s) et 1/β(s)λ(s) sont aussi des valeurs propres. La
dimension du sous-espace caractéristique associé à λ (et de même celle
de celui associé à λ) a baissé de 2, de sorte que ces nouvelles valeurs
propres sont forcées à être simples.
(3) Supposons que λ soit une valeur propre multiple réelle différente
de ±1 ; alors 1/λ est aussi une valeur propre, avec la même multiplicité.
Soit X un vecteur propre réel de A pour la valeur propre λ. Nous savons
(c’est le corollaire 5.6.7) que E λ ⊕ E 1/λ est un sous-espace symplectique. Il
existe donc, dans E 1/λ , un vecteur X
tel que ω(X, X
) = 1. Comme λ ∈ R,
on peut même supposer (et nous le faisons) que X
est réel. Choisissons un
chemin (non constant) β : [0, ε] → ]0, +∞[ avec β(0) = 1 et définissons A(s)
par
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(X
) =
1
β(s)
A(X
),
et A(s) = A sur l’orthogonal (symplectique) du plan (symplectique) engendré par X et X
. La matrice A(s) est réelle, symplectique, et β(s)λ est une
de ses valeurs propres, de même bien sûr (en vertu de la proposition 5.6.3)
que 1/(β(s)λ). De plus, ces deux valeurs propres sont simples (pour s = 0)
puisque dim C E λ (A(s)) = dim C E λ (A) − 1, et de même pour 1/λ. Enfin,
A(s) ∈ Sp(2n)
(en choisissant β convenablement).
(4) Reste à considérer le cas où −1 est valeur propre de A. Cette valeur
propre a une multiplicité paire, en particulier elle est multiple. Rappelons
que E −1 (A) est un sous-espace symplectique, de sorte que l’on peut y trouver
deux vecteurs X et Y tels que ω(X, Y ) = 1. On peut supposer que X est un
vecteur propre et que X et Y sont réels. Appelons F le sous-espace complexe
qu’ils engendrent. On choisit maintenant un chemin β dans R avec β(0) = 1
et l’on pose
A(s)X = β(s)A(X),
A(s)Y =
1
β(s)
A(Y )
et A(s) = A sur F
◦ . La matrice A(s) est encore dans Sp(2n)
et −β(s) est
une de ses valeurs propres (de sorte que −1/β(s) en est une aussi). Encore
une fois, la dimension du sous-espace caractéristique a baissé de 2, et donc
les valeurs propres −β(s) et −1/β(s) sont simples.
Il est bien clair qu’en itérant assez souvent les procédés décrits ci-dessus,
on connecte notre matrice A à une matrice A
dont les valeurs propres sont
distinctes et ceci par un chemin dans Sp(2n)
. Il reste à connecter A
à une
matrice qui a zéro ou deux valeurs propres réelles positives.
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
autres que λ et λ sont inchangées. On a introduit de nouvelles valeurs
propres, β(s)λ et β(s)λ(s) ∈ C − (S
1
− R) pour la matrice A(s), de
sorte que 1/β(s)λ(s) et 1/β(s)λ(s) sont aussi des valeurs propres. La
dimension du sous-espace caractéristique associé à λ (et de même celle
de celui associé à λ) a baissé de 2, de sorte que ces nouvelles valeurs
propres sont forcées à être simples.
(3) Supposons que λ soit une valeur propre multiple réelle différente
de ±1 ; alors 1/λ est aussi une valeur propre, avec la même multiplicité.
Soit X un vecteur propre réel de A pour la valeur propre λ. Nous savons
(c’est le corollaire 5.6.7) que E λ ⊕ E 1/λ est un sous-espace symplectique. Il
existe donc, dans E 1/λ , un vecteur X
tel que ω(X, X
) = 1. Comme λ ∈ R,
on peut même supposer (et nous le faisons) que X
est réel. Choisissons un
chemin (non constant) β : [0, ε] → ]0, +∞[ avec β(0) = 1 et définissons A(s)
par
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(X
) =
1
β(s)
A(X
),
et A(s) = A sur l’orthogonal (symplectique) du plan (symplectique) engendré par X et X
. La matrice A(s) est réelle, symplectique, et β(s)λ est une
de ses valeurs propres, de même bien sûr (en vertu de la proposition 5.6.3)
que 1/(β(s)λ). De plus, ces deux valeurs propres sont simples (pour s = 0)
puisque dim C E λ (A(s)) = dim C E λ (A) − 1, et de même pour 1/λ. Enfin,
A(s) ∈ Sp(2n)
(en choisissant β convenablement).
(4) Reste à considérer le cas où −1 est valeur propre de A. Cette valeur
propre a une multiplicité paire, en particulier elle est multiple. Rappelons
que E −1 (A) est un sous-espace symplectique, de sorte que l’on peut y trouver
deux vecteurs X et Y tels que ω(X, Y ) = 1. On peut supposer que X est un
vecteur propre et que X et Y sont réels. Appelons F le sous-espace complexe
qu’ils engendrent. On choisit maintenant un chemin β dans R avec β(0) = 1
et l’on pose
A(s)X = β(s)A(X),
A(s)Y =
1
β(s)
A(Y )
et A(s) = A sur F
◦ . La matrice A(s) est encore dans Sp(2n)
et −β(s) est
une de ses valeurs propres (de sorte que −1/β(s) en est une aussi). Encore
une fois, la dimension du sous-espace caractéristique a baissé de 2, et donc
les valeurs propres −β(s) et −1/β(s) sont simples.
Il est bien clair qu’en itérant assez souvent les procédés décrits ci-dessus,
on connecte notre matrice A à une matrice A
dont les valeurs propres sont
distinctes et ceci par un chemin dans Sp(2n)
. Il reste à connecter A
à une
matrice qui a zéro ou deux valeurs propres réelles positives.