7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
195
Soit β : [0, ε] → C
un chemin de classe C
∞ d’origine 1. Définissons A(s),
pour s ∈ [0, ε], par
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(Y ) =
1
β(s)λ
Y,
A(s)(Y ) =
1
β(s)λ
Y
et A(s) = A sur l’orthogonal symplectique F
◦ de F . On vérifie sans difficulté
que A(s) est réelle et symplectique. Ainsi,
A(s)| Eμ = A| Eμ
pour μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
,
A(s)| Eμ∩F ◦ = A| Eμ∩F ◦ pour μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
,
(pour s assez petit). De sorte qu’en choisissant bien β, on aura, pour s assez
petit, β(s)λ ∈ C − (S
1
∪ R), A(s) ∈ Sp(2n)
, et
dim C E μ (A(s)) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dim C E μ (A)
siμ ∈ Spec(A) et μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
dim C E μ (A) − 1 si μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
1
s i μ ∈
βλ, 1/βλ, βλ, 1/βλ
,
de sorte que l’on a baissé la multiplicité de λ d’une unité, sans augmenter
les multiplicités des autres valeurs propres.
(2) Voyons maintenant le cas d’une valeur propre multiple dans S
1
− R.
Soit X un vecteur propre de A pour la valeur propre λ. Alors X est vecteur
propre pour λ. Le sous-espace engendré par X et X peut être ou ne pas
être symplectique.
– Si ω(X, X) = 0, on peut procéder exactement comme ci-dessus,
c’est-à-dire choisir un chemin β à valeurs dans S
1 et définir A(s) ∈
Sp(2n)
de sorte qu’elle multiplie X par β(s)λ et X par son conjugué
et qu’elle soit identique à A sur l’orthogonal symplectique, ce qui fait
baisser la multiplicité de la valeur propre λ de 1.
– Si ω(X, X) = 0, comme ω est symplectique sur E λ ⊕ E λ , il
existe un vecteur Y dans le sous-espace caractéristique E λ (A) tel que
ω(X, Y ) = 1 et ω(Y, Y ) = 0. Les quatre vecteurs X, Y , X, Y forment
une base symplectique du sous-espace F qu’ils engendrent. On utilise
encore un chemin de classe C
∞ , β : [0, ε] → C, tel que β(0) = 1 et
β(s) ∈ C − S
1 pour s > 0, pour poser
A(s)X = β(s)λX,
A(s)X = β(s)λX,
A(s)Y =
1
β(s)
AY,
A(s)Y =
1
β(s)
AY
et A(s) = A sur F
◦ . Comme précédemment, A(s) ∈ Sp(2n)
et les
dimensions des sous-espaces caractéristiques pour les valeurs propres
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Soit β : [0, ε] → C
un chemin de classe C
∞ d’origine 1. Définissons A(s),
pour s ∈ [0, ε], par
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(X) = β(s)λX,
A(s)(Y ) =
1
β(s)λ
Y,
A(s)(Y ) =
1
β(s)λ
Y
et A(s) = A sur l’orthogonal symplectique F
◦ de F . On vérifie sans difficulté
que A(s) est réelle et symplectique. Ainsi,
A(s)| Eμ = A| Eμ
pour μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
,
A(s)| Eμ∩F ◦ = A| Eμ∩F ◦ pour μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
,
(pour s assez petit). De sorte qu’en choisissant bien β, on aura, pour s assez
petit, β(s)λ ∈ C − (S
1
∪ R), A(s) ∈ Sp(2n)
, et
dim C E μ (A(s)) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dim C E μ (A)
siμ ∈ Spec(A) et μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
dim C E μ (A) − 1 si μ ∈
λ, 1/λ, λ, 1/λ
1
s i μ ∈
βλ, 1/βλ, βλ, 1/βλ
,
de sorte que l’on a baissé la multiplicité de λ d’une unité, sans augmenter
les multiplicités des autres valeurs propres.
(2) Voyons maintenant le cas d’une valeur propre multiple dans S
1
− R.
Soit X un vecteur propre de A pour la valeur propre λ. Alors X est vecteur
propre pour λ. Le sous-espace engendré par X et X peut être ou ne pas
être symplectique.
– Si ω(X, X) = 0, on peut procéder exactement comme ci-dessus,
c’est-à-dire choisir un chemin β à valeurs dans S
1 et définir A(s) ∈
Sp(2n)
de sorte qu’elle multiplie X par β(s)λ et X par son conjugué
et qu’elle soit identique à A sur l’orthogonal symplectique, ce qui fait
baisser la multiplicité de la valeur propre λ de 1.
– Si ω(X, X) = 0, comme ω est symplectique sur E λ ⊕ E λ , il
existe un vecteur Y dans le sous-espace caractéristique E λ (A) tel que
ω(X, Y ) = 1 et ω(Y, Y ) = 0. Les quatre vecteurs X, Y , X, Y forment
une base symplectique du sous-espace F qu’ils engendrent. On utilise
encore un chemin de classe C
∞ , β : [0, ε] → C, tel que β(0) = 1 et
β(s) ∈ C − S
1 pour s > 0, pour poser
A(s)X = β(s)λX,
A(s)X = β(s)λX,
A(s)Y =
1
β(s)
AY,
A(s)Y =
1
β(s)
AY
et A(s) = A sur F
◦ . Comme précédemment, A(s) ∈ Sp(2n)
et les
dimensions des sous-espaces caractéristiques pour les valeurs propres