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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Pour une suite de ce type avec Im(λ
k
i ) > 0, nous avons
lim
k→+∞
2πm − (λ
k
i ) + σ(λ
k
i ) arg(λ
k
i )
− πm(λ
k
i )
= lim
k→+∞
σ(λ
k
i )(arg(λ
k
i ) − π) + π
2m − (λ
k
i ) + σ(λ
k
i ) − m(λ
k
i )
= 0.
Il y a aussi des valeurs propres λ
k
s k +1 , . . . , λ
k
t k
réelles pour k assez grand, les
valeurs propres restantes λ
k
t k +1 , . . . , λ
k
r k
qui ne sont ni réelles ni de module 1
et qui arrivent par quadruples μ, μ, 1/μ, 1/μ (voir la figure 5). On trouve
cette fois
π
2
m(λ) = lim
k→+∞
π
2
r k
i=1
m(λ
k
i )
= lim
k→+∞
π
2
sk
i=1
m(λ
k
i ) +
tk
i=sk+1
m(λ
k
i ) +
rk
i=tk+1
m(λ
k
i )
= lim
k→+∞
π
2
sk
i=1
Im(λ
k
i )>0
m(λ
k
i ) +
tk
i=sk+1
m(λ
k
i ) + 2
rk
i=tk+1
Im(λ
k
i )>0
m(λ
k
i )
= lim
k→+∞
sk
i=1
Im(λ
k
i )>0
(2πm − (λ
k
i ) + σ(λ
k
i ) arg(λ
k
i ))
+
π
2
t k
i=sk+1
m(λ
k
i ) + π
r k
i=tk+1
Im(λ
k
i )>0
m(λ
k
i )
.
Les relations obtenues dans ces quatre cas donnent la continuité de
ρ.
Démonstration du lemme 7.1.5. On part d’une matrice symplectique A qui
n’a pas la valeur propre 1, on veut la connecter à une matrice B ayant la
même propriété, toutes ses valeurs propres distinctes et exactement deux
valeurs propres réelles positives.
Commençons par connecter A à une matrice symplectique dont toutes
les valeurs propres sont distinctes. S’il y a quelque chose à faire, c’est que A
a des valeurs propres multiples.
(1) Considérons d’abord le cas d’une valeur propre multiple λ ∈ C −
(S
1
∪ R). Soient X et Y des vecteurs propres pour λ et 1/λ respectivement,
choisis de façon que ω(X, Y ) = 1 (ce qui est possible puisque ω est symplectique sur E λ ⊕ E 1/λ ). Le sous-espace F de C
2n engendré par X, Y, X, Y est
symplectique et ces quatre vecteurs en forment une base symplectique.