7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
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de ρ, avec une suite (A k ) k∈N convergeant vers A dans Sp(2n)
+ . Si λ est une
valeur propre de A, notons comme ci-dessus λ
k
1 , . . . , λ
k
r k
les valeurs propres
(distinctes) de A k telles que lim k→+∞ λ
k
i = λ. Comme ci-dessus, nous devons distinguer plusieurs cas. Nous utilisons dans chacun d’eux la formule
donnant ρ en fonction des seules valeurs propres à partie imaginaire positive.
(1) λ ∈ {Im(z) > 0} − S
1 . Alors, toujours par continuité des valeurs
propres,
r k
i=1
πm(λ
k
i ) = πm(λ).
(2) λ ∈ {Im(z) > 0} ∩ S
1 . Comme dans le corollaire 7.3.9, notons
λ
k
1 , . . . , λ
k
s k
les suites qui sont sur S
1 (pour k assez grand). Les autres sont
regroupées par paires μ, 1/μ (comme sur la figure 2). Rappelons (c’est le
corollaire 7.3.4) que la signature de Q sur un espace E μ ⊕ E 1/μ est nulle,
de sorte que l’on a, pour k assez grand
sk
i=1
σ(λ
k
i ) = σ(λ)
(comme dans la démonstration du corollaire 7.3.9). En appliquant le fait
que
m − (Q| Eμ⊕E 1/μ ) = m + (Q| Eμ⊕E 1/μ ) = m(μ) =
1
2
(m(μ) + m(1/μ)),
on trouve
lim
k→+∞
sk
i=1
(2πm − (λ
k
i ) + σ(λ
k
i ) arg(λ
k
i ) +
rk
i=sk+1
πm(λ
k
i )
= lim
k→+∞
2πm − (Q| ⊕
r k
i=1 E λ k
i
(Ak)
+
sk
i=1
σ(λ
k
i )
arg(λ)
= 2πm − (λ) + σ(λ) arg(λ).
(3) λ ∈ R, |λ| | = 1. Appelons λ
k
1 , . . . , λ
k
t k
les valeurs propres de A k
qui sont réelles pour k assez grand. Les autres arrivent par quadruples
μ, μ, 1/μ, 1/μ (comme sur la figure 4), tous les éléments du quadruple ayant
la même multiplicité. Toujours par continuité des valeurs propres,
π
2
m(λ) =
r k
i=1
π
2
m(λ
k
i ) =
t k
i=1
π
2
m(λ
k
i ) + π
r k
i=t k +1
Im(λ
k
i )>0
m(λ
k
i ).
(4) λ = −1. Il y a d’abord les valeurs propres λ
k
1 , . . . , λ
k
s k
qui sont dans S
1
pour k assez grand ; elles se regroupent par paires μ, μ (voir la figure 5).