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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
– et pour A ∈ Sp(2n)
− ,
ρ =
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 ∩{Im(z)>0}
2π(m − (λ) + σ(λ) arg(λ))
+
λ∈Spec(A)
λ∈{Im(z)>0}−S
1
πm(λ) +
λ∈Spec(A)∩R
π
2
m(λ) + π.
Vérifions maintenant que
ρ a les propriétés requises. Soit A ∈ Sp(2n)
+ .
Les valeurs propres de A qui ne sont ni réelles ni de module 1 arrivent
par groupes de quatre, avec même multiplicité. La multiplicité totale des
valeurs propres réelles positives est elle aussi divisible par 4 : elles arrivent
par paires (λ, 1/λ) et
0 < d´ et(A − Id) =
λ∈Spec(A)
(λ − 1)
est de même signe que
λ∈Spec(A)∩R+
(λ − 1).
On en déduit que
exp
i
λ∈Spec(A)
λ ∈S
1 −R
m(λ)
π
2
= exp
i
m 0
2
π
= (−1)
m0/2
(rappelons que m 0 est la multiplicité totale des valeurs propres réelles négatives de A). On a donc bien
exp (i ρ(A)) = ρ(A) ∀ A ∈ Sp(2n)
+ .
Pour le cas de Sp(2n)
− , la multiplicité totale des valeurs propres réelles
positives de A est, grâce au même argument, un entier de la forme 4k + 2,
mais nous avons un π supplémentaire dans la formule définissant
ρ, de sorte
que
exp
i
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 −R
m(λ)
π
2
+ π
= exp
i
m 0
2
π + 2π
= (−1)
m0/2 ,
et donc ici encore,
exp (i ρ(A)) = ρ(A) ∀ A ∈ Sp(2n)
− .
Donc
ρ ± est un relevé de ρ.
Montrons maintenant que cette application
ρ est continue, en utilisant des
arguments similaires à ceux qui nous ont déjà servi à montrer la continuité
de ρ. Nous ne le faisons que sur Sp
+ (2n), la démonstration pour Sp(2n)
−
étant complètement analogue. Nous procédons comme pour la continuité