7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
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7.3.d. Les lemmes sur Sp(2n)
Démonstration du lemme 7.1.6. On utilise la description précise de ρ donnée dans la proposition 7.3.5 pour construire
ρ et des énoncés analogues à
ceux prouvant la continuité de ρ pour démontrer celle du relevé.
Pour λ ∈ S
1 , non réel, on appelle arg(λ) le nombre
arg(λ) ∈ ]0, 2π[ tel que exp(i arg(λ)) = λ.
On définit
ρ : Sp(2n)
→ R par les formules
ρ(A) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 −R
m + (λ) arg(λ) +
λ∈Spec(A)
λ ∈S
1 −R
π
2
m(λ)
siA ∈ Sp(2n)
+
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 −R
m + (λ) arg(λ) +
λ∈Spec(A)
λ ∈S
1 −R
π
2
m(λ) + π si A ∈ Sp(2n)
− .
Remarquons que la première somme peut s’écrire en n’utilisant que les valeurs propres à partie imaginaire positive :
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 −R
m + (λ) arg(λ) =
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 ∩{Im(z)>0}
m + (λ) arg(λ) + m + (λ) arg(λ)
=
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 ∩{Im(z)>0}
(m + (λ) arg(λ) + m − (λ)(2π − arg(λ)))
=
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 ∩{Im(z)>0}
(m − (λ)(2π) + σ(λ) arg(λ)) .
Puis, les valeurs propres non réelles de A ∈ Sp(2n) peuvent être groupées
par paires λ, λ de même multiplicité. On en déduit une expression de
ρ ne
faisant intervenir que les valeurs propres de partie imaginaire positive :
– pour A ∈ Sp(2n)
+ ,
ρ =
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 ∩{Im(z)>0}
2π(m − (λ) + σ(λ) arg(λ))
+
λ∈Spec(A)
λ∈{Im(z)>0}−S
1
πm(λ) +
λ∈Spec(A)∩R
π
2
m(λ),