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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Donc
E
+
λ =
x
−ix
∈ C
2n
|
M −N
N M
x
−ix
= λ
x
−ix
= {x ∈ C
n
| (M + iN )x = λx}
ce qui est exactement le sous-espace propre pour λ de la matrice U . Par
conséquent, on a bien m
A
+ (λ) = m
U (λ). Le cas de la valeur propre −1 se
traite de façon analogue : on vérifie que
v
w
∈ E
A
−1 ∩ R
2n
⇐⇒ (v + iw) ∈ E
U
−1 ,
de sorte que les sous-espaces propres de A et de U pour la valeur propre −1
sont isomorphes comme sous-espaces vectoriels réels, et que
m
A (−1) = dim R (E
A
−1 ∩ R
2n ) = dim R E
U
−1 =
1
2
dim C E
U
−1 =
1
2
m
U (−1)
... ce qui achève la démonstration du lemme...
et qui démontre que ρ(A) = d´ et C (U ).
Passage à l’inverse. On a vu que
t
A = J
−1
0 A
−1 J 0 , donc, en appliquant
la naturalité, ρ(
t
A) = ρ(A
−1 ). Ensuite, λ est une valeur propre de A
−1 si et
seulement si 1/λ en est une de A et les sous-espaces caractéristiques sont
les mêmes
E λ (A
−1 ) = E 1/λ (A),
en particulier,
m
A
−1
+ (λ) = m
A
+ (1/λ) et m
A
−1 (−1) = m
A (−1), donc m
A
−1
0
= m
A
0 .
On calcule ensuite
ρ(A
−1 ) = (−1)
m
A −1
0
/2
λ∈Spec(A
−1 )
λ∈S
1 −R
λ
m
A −1
+
(λ)
= (−1)
m
A
0 /2
λ∈Spec(A
−1 )=Spec(A)
λ∈S
1 −R
λ
m
A
+ (1/λ) .
En changeant λ en 1/λ, on trouve
ρ(A
−1 ) = (−1)
m
A
0 /2
λ∈Spec(A)
λ∈S
1 −R
1
λ
m
A
+ (λ)
=
1
ρ(A)
= ρ(A).