7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
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Déterminant. Soit A ∈ Sp(2n; R) ∩ O(2n) = U(n),
A =
M −N
N M
, identifiée à U = M + iN ∈ U(n).
Remarquons d’abord que les valeurs propres de A sont bien les valeurs
propres de U . On a d’une part
U (z) = λz =⇒ A
z
−iz
= λ
z
−iz
et de l’autre
M −N
N M
v
w
= λ
v
w
=⇒ (M + iN )(v + iw) = λ(v + iw)
(si par hasard v + iw = 0, on a (M + iN )v = λv, de sorte que λ est bien une
valeur propre de U ). En particulier, les valeurs propres de A sont, comme
celles de U puisque ce sont les mêmes, des éléments de S
1 .
Lemme 7.3.11. Soit A ∈ Sp(2n; R) ∩ O(2n) = U(n) et soit λ une valeur
propre non réelle de A. Alors
m
A
+ (λ) = m
U (λ) et m
A (−1) = 2m
U (−1).
Démonstration. Les matrices A et U sont diagonalisables sur C, donc les
sous-espaces caractéristiques E λ sont tout simplement les sous-espaces
propres. Soit J 0 la structure complexe
J 0 =
0 − Id
Id 0
, de sorte que J
2
0 = − Id, AJ 0 = J 0 A
et ω(X, J 0 Y ) = (X, Y ), le produit scalaire de R
2n . Comme A commute avec
J 0 , on a
J 0 (E
A
λ ) = E
A
λ .
Par ailleurs, J 0 ∈ Sp(2n; R) ∩ O(2n) est, elle aussi, diagonalisable sur C,
ses valeurs propres sont i et −i, avec multiplicité n pour chacune, ses sousespaces propres sont
E
J0
i =
x
ix
| x ∈ C
n
et E
J0
−i =
x
−ix
| x ∈ C
n
.
En particulier, pour v ∈ E
J0
i , on a
ω(v, v) = ω(v, −iJ 0 v) = −iω(v, J 0 v) = −i(R´ e v
2 + Im v
2 ),
donc Q est définie négative sur E
J0
i . Un calcul analogue montre qu’elle est
définie positive sur E
J0
−i . On en déduit que les sous-espaces propres de A
satisfont à
E
+
λ = E λ ∩ E
J0
−i , E
−
λ = E λ ∩ E
J0
i .