188
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Si λ = −1, les valeurs propres λ tk+1 , . . . , λ rk sont, pour une partie
les conjugués λ
k
1 , . . . , λ
k
sk , pour le restant des quadruples μ, 1/μ, μ, 1/μ (figure 5). On a cette fois, pour k assez grand, et modulo 2
m(λ)
2
≡
sk
i=1
m(λ
k
i )
2
+
sk
i=1
m(λ
k
i )
2
+
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
≡
sk
i=1
m(λ
k
i ) +
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
≡
sk
i=1
σ(λ
k
i ) +
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
,
en utilisant le fait que m et σ ont la même parité. C’est le résultat annoncé.
Ceci (c’est-à-dire le corollaire 7.3.9 et la proposition 7.3.10) termine la
démonstration de la continuité de ρ.
Montrons maintenant que l’application continue ρ ainsi construite satisfait bien toutes les propriétés annoncées dans le théorème 7.1.3.
Naturalité. Les matrices T AT
−1 et A ont le même spectre, avec multiplicité. De plus, les sous-espaces caractéristiques se correspondent, par
E
T AT
−1
λ
= T (E
A
λ ).
Enfin, comme T n’est pas n’importe quelle matrice inversible, mais un élément de Sp(2n; R), elle préserve la forme symplectique ω et tout ce qui s’en
déduit, en particulier, Q(T (X)) = Q(X), donc
m
T AT
−1
±
(λ) = m
A
± (λ) et enfin ρ(T AT
−1 ) = ρ(A).
Produit. Le spectre de
A 0
0 B
est la réunion des spectres de A et B (avec
multiplicités) et de même (avec la convention que E λ = 0 si λ n’est pas une
valeur propre),
E λ
A 0
0 B
= E λ (A) ⊕ E λ (B).
Les m ± s’ajoutent, eux aussi, et donc
ρ
A 0
0 B
= ρ(A)ρ(B).
Normalisation. Cette propriété (ρ = ±1 si les valeurs propres sont réelles)
est une conséquence immédiate de la définition de ρ.
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Si λ = −1, les valeurs propres λ tk+1 , . . . , λ rk sont, pour une partie
les conjugués λ
k
1 , . . . , λ
k
sk , pour le restant des quadruples μ, 1/μ, μ, 1/μ (figure 5). On a cette fois, pour k assez grand, et modulo 2
m(λ)
2
≡
sk
i=1
m(λ
k
i )
2
+
sk
i=1
m(λ
k
i )
2
+
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
≡
sk
i=1
m(λ
k
i ) +
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
≡
sk
i=1
σ(λ
k
i ) +
tk
i=s k +1
m(λ
k
i )
2
,
en utilisant le fait que m et σ ont la même parité. C’est le résultat annoncé.
Ceci (c’est-à-dire le corollaire 7.3.9 et la proposition 7.3.10) termine la
démonstration de la continuité de ρ.
Montrons maintenant que l’application continue ρ ainsi construite satisfait bien toutes les propriétés annoncées dans le théorème 7.1.3.
Naturalité. Les matrices T AT
−1 et A ont le même spectre, avec multiplicité. De plus, les sous-espaces caractéristiques se correspondent, par
E
T AT
−1
λ
= T (E
A
λ ).
Enfin, comme T n’est pas n’importe quelle matrice inversible, mais un élément de Sp(2n; R), elle préserve la forme symplectique ω et tout ce qui s’en
déduit, en particulier, Q(T (X)) = Q(X), donc
m
T AT
−1
±
(λ) = m
A
± (λ) et enfin ρ(T AT
−1 ) = ρ(A).
Produit. Le spectre de
A 0
0 B
est la réunion des spectres de A et B (avec
multiplicités) et de même (avec la convention que E λ = 0 si λ n’est pas une
valeur propre),
E λ
A 0
0 B
= E λ (A) ⊕ E λ (B).
Les m ± s’ajoutent, eux aussi, et donc
ρ
A 0
0 B
= ρ(A)ρ(B).
Normalisation. Cette propriété (ρ = ±1 si les valeurs propres sont réelles)
est une conséquence immédiate de la définition de ρ.