7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
187
λ
k
μ
k
(μ
k )
−1
μ
k
(μ
k )
−1
0
(λ
k )
−1
Figure 3
Nous démontrons :
Proposition 7.3.10.
lim
k→+∞
(λ
k
1 )
σ(λ
k
1 )
· · · (λ
k
s k
)
σ(λ
k
s k
) · (−1)
(m(λ
k
s k +1 )+···+m(λ
k
t k
))/2 = (−1)
m(λ)/2 .
Démonstration. Si λ = −1, alors s k = 0 et les valeurs propres λ tk+1 , . . . , λ rk
peuvent être regroupées en quadruples μ, 1/μ, μ, 1/μ (figure 4), de sorte que
m(μ) + m (1/μ) + m(μ) + m (1/μ) = 4m(μ).
La continuité des valeurs propres (proposition 7.3.6) donne donc, pour k
assez grand, que
m(λ)
2
=
r k
i=1
m(λ
k
i )
2
et
t k
i=1
m(λ
k
i )
2
ont la même parité, et la démonstration est terminée.
λ
k
μ
k
(μ
k )
−1
λ
μ
k
(μ
k )
−1
0
λ
−1
Figure 4
λ
k
μ
k
(μ
k )
−1
μ
k
(μ
k )
−1
0
Figure 5