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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
à l’extérieur du cercle mais dans ce cas, aussi par la suite des (1/μ
k ) k∈N .
C’est ce qui est illustré sur la figure 2.
λ
k
μ
k
(μ
k )
−1
λ
Figure 2
Appelons λ
k
1 , . . . , λ
k
s k
(pour s k ≤ r k ) celles des valeurs propres qui sont
sur le cercle pour k assez grand. Voici un corollaire de la proposition 7.3.8
Corollaire 7.3.9.
lim
k→+∞
(λ
k
1 )
σ(λ
k
1 )
· · · (λ s k )
σ(λ
k
s k
) = λ
σ(λ) .
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la proposition 7.3.8
lorsque s k = r k , puisqu’alors
σ(λ
k
1 ) + · · · + σ(λ
k
s k
) = σ(λ)
pour k assez grand, ce qui donne le résultat voulu. Si s k < r k , les valeurs
propres λ
k
s k +1 , . . . , λ
k
r k
peuvent être regroupées par paires μ, μ
−1 de même
multiplicité (comme indiqué sur la figure 2). Mais, d’après le corollaire 7.3.4,
la signature de Q sur E μ (A k ) ⊕ E μ
−1 (A k ) est nulle. La relation entre les
signatures est encore satisfaite et le corollaire démontré.
Pour finir la démonstration de la continuité, il reste à analyser les suites
de valeurs propres des matrices A k tendant vers une valeur propre réelle λ
de A.
Commençons pas le cas d’un λ > 0. Si λ = 1, λ
k
i et λ n’interviennent pas
dans la définition de ρ. Si λ = 1, seules interviennent dans la définition de ρ
des suites qui sont sur S
1
∩ {Im(z) > 0} pour k assez grand (figure 3). Pour
chacune de celles-ci,
lim
k→+∞
(λ
k )
σ(λk) = 1 puisque lim
k→+∞
λ
k = 1.
Passons maintenant au cas d’un λ < 0 (figures 4 et 5). Appelons
– (comme ci-dessus) λ
k
1 , . . . , λ
k
s k
les suites de valeurs propres de A k qui
sont dans S
1
∩ {Im(z) > 0} pour k assez grand (s’il y en a au moins une,
alors λ = −1),
– λ
k
s k +1 , . . . , λ
k
t k
les suites réelles,
– λ t k +1 , . . . , λ r k les autres.