7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
185
Dans cet énoncé, la convergence d’une suite de sous-espaces vectoriels
de même dimension (de C
m ) vers un sous-espace de cette dimension est
définie (comme convergence dans la grassmannienne correspondante c’està-dire) par lim V k = V s’il existe pour tout k une base unitaire B k de V k
telle que la suite des B k converge vers une base B de V .
Démonstration. Notons λ
k
1 , λ
k
2 , . . . , λ
k
r k
les valeurs propres (distinctes) de A k
dont les sous-espaces caractéristiques apparaissent dans la somme directe.
Grâce à la proposition 7.3.6, nous savons que la somme de leurs multiplicités est la multiplicité de la limite λ. Appelons V k cette somme directe et
remarquons que
V k ⊂ Ker(A − λ
k
1 Id)
m(λ
k
1 ) (A − λ
k
2 Id)
m(λ
k
2 )
· · · (A − λ
k
r k
Id)
m(λ
k
r k
) .
En effet, (A−λ
k
j Id)
m(λ
k
j ) s’annule sur le sous-espace caractéristique E λ k
j
(A k )
(par définition des sous-espaces caractéristiques). Donc, si v k ∈ V k est une
suite de vecteurs qui converge vers v, on a
(A − λ Id)
m(λ) v = 0,
et par suite v ∈ E λ (A).
De la proposition 7.3.6, on déduit sans mal un autre résultat qui nous
sera utile :
Proposition 7.3.8. Si (V k ) k∈N est une suite de sous-espaces vectoriels de C
m
de la même dimension convergeant vers un sous-espace V et si Q est une
forme quadratique sur C
m dont la restriction à chacun des V k et à V est
non dégénérée, alors, pour k assez grand, la signature de Q| V k est constante
et égale à celle de Q| V .
Démonstration. On choisit une suite de bases unitaires des V k qui converge
vers une base unitaire de V ; la matrice de la restriction de Q à V k tend
vers celle de la restriction de Q à V ; le nombre de valeurs propres positives
comptées avec multiplicité est donc constant pour k assez grand.
Venons-en maintenant à la démonstration de la continuité de ρ. Soit
(A k ) k∈N une suite de matrices symplectiques convergeant vers A ∈ Sp(2n)
et soit λ ∈ S
1
∩ {Im(z) > 0} une valeur propre de A. Avec les notations
utilisées ci-dessus, écrivons
E λ (A) = lim
k→+∞
E λ k
1
(A k ) ⊕ · · · ⊕ E λ k r k
(A k ).
La valeur propre λ peut être approchée par une suite (λ
k ) k∈N de valeurs
propres de A k qui sont sur le cercle ou par une suite (μ
k ) k∈N de nombres
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Dans cet énoncé, la convergence d’une suite de sous-espaces vectoriels
de même dimension (de C
m ) vers un sous-espace de cette dimension est
définie (comme convergence dans la grassmannienne correspondante c’està-dire) par lim V k = V s’il existe pour tout k une base unitaire B k de V k
telle que la suite des B k converge vers une base B de V .
Démonstration. Notons λ
k
1 , λ
k
2 , . . . , λ
k
r k
les valeurs propres (distinctes) de A k
dont les sous-espaces caractéristiques apparaissent dans la somme directe.
Grâce à la proposition 7.3.6, nous savons que la somme de leurs multiplicités est la multiplicité de la limite λ. Appelons V k cette somme directe et
remarquons que
V k ⊂ Ker(A − λ
k
1 Id)
m(λ
k
1 ) (A − λ
k
2 Id)
m(λ
k
2 )
· · · (A − λ
k
r k
Id)
m(λ
k
r k
) .
En effet, (A−λ
k
j Id)
m(λ
k
j ) s’annule sur le sous-espace caractéristique E λ k
j
(A k )
(par définition des sous-espaces caractéristiques). Donc, si v k ∈ V k est une
suite de vecteurs qui converge vers v, on a
(A − λ Id)
m(λ) v = 0,
et par suite v ∈ E λ (A).
De la proposition 7.3.6, on déduit sans mal un autre résultat qui nous
sera utile :
Proposition 7.3.8. Si (V k ) k∈N est une suite de sous-espaces vectoriels de C
m
de la même dimension convergeant vers un sous-espace V et si Q est une
forme quadratique sur C
m dont la restriction à chacun des V k et à V est
non dégénérée, alors, pour k assez grand, la signature de Q| V k est constante
et égale à celle de Q| V .
Démonstration. On choisit une suite de bases unitaires des V k qui converge
vers une base unitaire de V ; la matrice de la restriction de Q à V k tend
vers celle de la restriction de Q à V ; le nombre de valeurs propres positives
comptées avec multiplicité est donc constant pour k assez grand.
Venons-en maintenant à la démonstration de la continuité de ρ. Soit
(A k ) k∈N une suite de matrices symplectiques convergeant vers A ∈ Sp(2n)
et soit λ ∈ S
1
∩ {Im(z) > 0} une valeur propre de A. Avec les notations
utilisées ci-dessus, écrivons
E λ (A) = lim
k→+∞
E λ k
1
(A k ) ⊕ · · · ⊕ E λ k r k
(A k ).
La valeur propre λ peut être approchée par une suite (λ
k ) k∈N de valeurs
propres de A k qui sont sur le cercle ou par une suite (μ
k ) k∈N de nombres