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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Démonstration. Nous avons dit (c’est la remarque 5.6.8) que X → X est
un isomorphisme de sous-espaces vectoriels réels de E λ sur E λ . Comme
Q(X) = −Q(X), on a, pour λ ∈ S
1 ,
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
m + (λ) = m − (λ)
m − (λ) = m + (λ)
σ(λ) = −σ(λ),
de sorte que
λ
m+(λ)
· λ
m+(λ) = λ
σ(λ) = λ
σ(λ) .
En regroupant les valeurs propres de module 1 par paires (λ, λ) dans la
définition de ρ, on obtient la formule annoncée.
7.3.c. Propriétés de ρ. Commençons maintenant à vérifier les propriétés
espérées pour ρ, c’est-à-dire à démontrer le théorème 7.1.3.
Continuité de ρ. Soit (A k ) k∈N une suite dans Sp(2n; R) convergeant
vers une matrice A ∈ Sp(2n). Nous allons montrer que la suite des ρ(A k )
converge vers ρ(A). Il est clair qu’il suffit de le faire pour une sous-suite de
(A k ). Nous allons utiliser le fait que les valeurs propres dépendent continûment des coefficients de la matrice, un fait classique dont voici un énoncé
précis
(1) :
Proposition 7.3.6. Soit (A k ) k∈N une suite de matrices carrées m×m tendant
vers une limite A. Soient λ 1 , . . . , λ m les valeurs propres de A, écrites avec
leur multiplicité. Alors il existe une numérotation λ
k
1 , . . . , λ
k
m des valeurs
propres de A k telle que
∀ i ∈ [1, m]
lim
k→+∞
λ
k
i = λ i .
Nous aurons aussi besoin d’un résultat de continuité des sous-espaces
caractéristiques :
Proposition 7.3.7. Sous les mêmes hypothèses, soit λ une valeur propre de A.
Alors, à extraction d’une sous-suite près
lim
k→+∞
lim λ
k
i =λ
i =j⇒λ
k
i =λ
k
j
E λ k
i
(A k ) = E λ (A).
(1) Dont la démonstration est laissée en exercice aux lecteurs volontaires ; nous proposons,
dans l’exercice 43 page 483, une démonstration fondée sur le théorème de Rouché.