7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
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donc les sous-espaces engendrés par les u j et les v j sont orthogonaux, enfin
B(v j , v k ) = B(X j − iY j , X k − iY k )
= −B(iY j , X k ) − B(iY k , X j )
= −2δ j,k ,
donc Q est négative sur le sous-espace engendré par les v j . Donc sa signature
est nulle.
7.3.b. Définition de ρ. Définissons maintenant l’application ρ. Si
λ ∈ S
1
− R est une valeur propre, on écrit le sous-espace caractéristique
E λ = E
+
λ ⊕ E
−
λ
comme somme de deux sous-espaces vectoriels réels de C
2n , sur lesquels
la forme Q est définie positive, respectivement définie négative. Comme
Q(iX) = Q(X), les deux sous-espaces sont stables par la multiplication
par i et sont donc en fait des sous-espaces vectoriels complexes de C
2n .
On appelle m + (λ) et m − (λ) les dimensions complexes de ces espaces,
m + (λ) = dim C E
+
λ , m − (λ) = dim C E
−
λ ,
de sorte que
m + (λ) + m − (λ) = dim C E λ = m(λ),
la multiplicité de λ. On définit ensuite la signature de la valeur propre λ
comme
σ(λ) = m + (λ) − m − (λ).
Rappelons que la multiplicité de −1 comme (éventuelle) valeur propre est
paire, puisque E −1 est symplectique (c’est le corollaire 5.6.7), ainsi la somme
des multiplicités des valeurs propres réelles négatives est un nombre pair,
m 0 =
λ∈Spec(A)∩R−
m(λ) ∈ 2N.
Ce qui fait que l’on peut enfin poser
ρ(A) = (−1)
m0/2
λ∈Spec(A)∩(S 1 −R)
λ
m+(λ) .
C’est l’application annoncée dans l’énoncé du théorème 7.1.3, comme nous
allons le démontrer. Commençons par remarquer qu’on aurait pu utiliser
seulement les valeurs propres à partie imaginaire positive.
Proposition 7.3.5.
ρ(A) = (−1)
m0/2
λ∈Spec(A)∩S
1
Im(λ)>0
λ
σ(λ) .