182
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Ici on a utilisé la terminologie où la signature d’une forme quadratique
est la différence
σ(Q) = m + (Q) − m − (Q)
où m + , resp. m − , est la dimension maximale des sous-espaces sur lesquels Q
est définie positive, resp. négative (m − est ce que nous avons appelé l’indice
dans le contexte des points critiques).
Lemme 7.3.3. Soient λ et μ deux valeurs propres de A. Si λμ = 1 alors les
sous-espaces caractéristiques E λ et E μ sont orthogonaux pour B.
C’est une conséquence immédiate de la proposition 5.6.6 : si X 1 ∈ E λ et
X 2 ∈ E μ , alors X 1 ∈ E λ et ω(X 1 , X 2 ) = 0.
Corollaire 7.3.4.
(1) Soit λ ∈ S
1 . Alors B et Q sont non dégénérées en restriction à E λ .
(2) Soit λ ∈ C − S
1 . Alors B et Q sont non dégénérées en restriction à
E λ ⊕ E 1/λ . De plus, la signature de la restriction de Q à ce sous-espace est
nulle.
Démonstration du corollaire. La seule assertion qui mérite une vérification
est celle sur la signature. Nous savons que la restriction de ω à E λ ⊕ E 1/λ
est non dégénérée (c’est le corollaire 5.6.7) et que les deux sous-espaces
caractéristiques sont isotropes. On peut donc trouver une base (X 1 , . . . , X k )
de E λ et une base (Y 1 , . . . , Y k ) de E λ telles que (X 1 , . . . , X k , Y 1 , . . . , Y k ) soit
une base symplectique de E λ ⊕ E 1/λ . Posons
u j = X j + iY j , v j = X j − iY j .
On a alors
B(u j , u k ) = B(X j + iY j , X k + iY k )
= B(iY j , X k ) + B(iY k , X j )
= Im ω(−iY j , X k ) + Im ω(−iY k , X j )
= 2δ j,k ,
par suite Q est définie positive sur le sous-espace engendré par les u j , et
B(u j , v k ) = B(X j + iY j , X k − iY k )
= B(iY j , X k ) − B(iY k , X j )
= 0,
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Ici on a utilisé la terminologie où la signature d’une forme quadratique
est la différence
σ(Q) = m + (Q) − m − (Q)
où m + , resp. m − , est la dimension maximale des sous-espaces sur lesquels Q
est définie positive, resp. négative (m − est ce que nous avons appelé l’indice
dans le contexte des points critiques).
Lemme 7.3.3. Soient λ et μ deux valeurs propres de A. Si λμ = 1 alors les
sous-espaces caractéristiques E λ et E μ sont orthogonaux pour B.
C’est une conséquence immédiate de la proposition 5.6.6 : si X 1 ∈ E λ et
X 2 ∈ E μ , alors X 1 ∈ E λ et ω(X 1 , X 2 ) = 0.
Corollaire 7.3.4.
(1) Soit λ ∈ S
1 . Alors B et Q sont non dégénérées en restriction à E λ .
(2) Soit λ ∈ C − S
1 . Alors B et Q sont non dégénérées en restriction à
E λ ⊕ E 1/λ . De plus, la signature de la restriction de Q à ce sous-espace est
nulle.
Démonstration du corollaire. La seule assertion qui mérite une vérification
est celle sur la signature. Nous savons que la restriction de ω à E λ ⊕ E 1/λ
est non dégénérée (c’est le corollaire 5.6.7) et que les deux sous-espaces
caractéristiques sont isotropes. On peut donc trouver une base (X 1 , . . . , X k )
de E λ et une base (Y 1 , . . . , Y k ) de E λ telles que (X 1 , . . . , X k , Y 1 , . . . , Y k ) soit
une base symplectique de E λ ⊕ E 1/λ . Posons
u j = X j + iY j , v j = X j − iY j .
On a alors
B(u j , u k ) = B(X j + iY j , X k + iY k )
= B(iY j , X k ) + B(iY k , X j )
= Im ω(−iY j , X k ) + Im ω(−iY k , X j )
= 2δ j,k ,
par suite Q est définie positive sur le sous-espace engendré par les u j , et
B(u j , v k ) = B(X j + iY j , X k − iY k )
= B(iY j , X k ) − B(iY k , X j )
= 0,