7.3. APPENDICE : CONSTRUCTION ET PROPRIÉTÉS DE ρ
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7.3. Appendice : construction et propriétés de ρ
7.3.a. Préliminaires. Soit B la forme
C
2n
× C
2n
−→ R
définie par
B(X 1 , X 2 ) = Im ω(X 1 , X 2 ).
Lemme 7.3.1. La forme B est une forme R-bilinéaire, symétrique et non
dégénérée. De plus, elle satisfait à
B(iX 1 , iX 2 ) = B(X 1 , X 2 ) et B(X 1 , X 2 ) = −B(X 1 , X 2 ).
Démonstration du lemme. Il est bien clair que B est R-bilinéaire. On vérifie
directement qu’elle est symétrique
B(X 2 , X 1 ) = Im ω(X 2 , X 1 )
= − Im ω(X 1 , X 2 )
= Im ω(X 1 , X 2 )
= Im ω(X 1 , X 2 ) = B(X 1 , X 2 ).
Pour montrer qu’elle est non dégénérée, supposons que X soit tel que
B(X, Y ) = 0 pour tout Y . On a donc
Im ω(X, Y ) = 0 ∀ Y ∈ C
2n ,
et donc aussi
Im ω(X, iY ) = 0 ∀ Y ∈ C
2n ,
et par conséquent
ω(X, Y ) = 0 ∀ Y ∈ C
2n ,
donc X = 0 puisque ω est non dégénérée.
Les deux égalités ont aussi des démonstrations directes :
B(iX 1 , iX 2 ) = Im ω(−iX 1 , iX 2 ) = Im ω(X 1 , X 2 ) = B(X 1 , X 2 )
pour la première, et
B(X 1 , X 2 ) = Im ω(X 1 , X 2 )
= − Im ω(X 1 , X 2 )
= − Im ω(X 1 , X 2 )
= −B(X 1 , X 2 )
pour la seconde.
Corollaire 7.3.2. La forme quadratique Q(X) = B(X, X) = Im ω(X, X) est
non dégénérée et sa signature est nulle.