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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Démonstration. Commençons par généraliser un calcul déjà effectué
page 176 en dimension 2. On choisit un entier impair et on considère la
matrice diagonale S =
π 0
0 π
. Alors,
e
tJS =
cos πt sin πt
− sin cos πt
est un chemin dans S qui aboutit en − Id = W
+
∈ Sp(2)
+ . La matrice e
tJS
est la matrice unitaire e
−iit
∈ U(1) ⊂ Sp(2), de sorte que μ(e
tJS ) = −.
Pour S =
1 0
0 −1
, on a
e
tJS =
ch t − sh t
− sh t ch t
,
chemin dans S formé de matrices dont les valeurs propres e
t et e
−t sont
réelles positives et distinctes pour t > 0, de sorte que μ(e
tJS ) = 0.
Par additivité de l’indice de Maslov, les matrices diagonales (écrites dans
les coordonnées p 1 , q 1 , . . . , p n , q n )
S k =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−π 0
0 −π
. . . −π 0
0 −π
−π 0
0 −π
(n − k − 1)π
0
0
(n − k − 1)π
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
si k ≡ n mod 2, respectivement
S k =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−π 0
0 −π
. . . −π 0
0 −π
1 0
0 −1
(n − k − 2)π
0
0
(n − k − 2)π
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
si k ≡ n − 1 mod 2, définissent des chemins d’indice de Maslov k.
Nous réutiliserons ces matrices S k , sous ce nom, au chapitre 8.