7.2. L’INDICE DE MASLOV D’UN CHEMIN
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7.2.c. Lien entre matrices symplectiques et symétriques. Nous savons (grâce à l’exercice 15 (page 473) et à la proposition 7.2.1) que, lorsque S
est une matrice symétrique, exp(tJS) est une matrice symplectique. On a
plus généralement :
Lemme 7.2.3. Soit S : [0, 1] → M (2n; R) un chemin continu de matrices
symétriques. Alors le chemin R : [0, 1] → M (2n; R) solution de
d
dt
R(t) = JS(t)R(t), R(0) = Id
est dans Sp(2n). Réciproquement, si R : [0, 1] → Sp(2n) est un chemin de
classe C
1 , alors le chemin
S(t) = −JR
(t)R(t)
−1
est formé de matrices symétriques.
Démonstration. On a noté par
la dérivée par rapport à t. On a d’abord
t
R(t)
= −
t
R(t)S(t)J,
puis
t RJR
=
t
R
JR +
t
RJR
= −
t
RSJ
2 R +
t
RJ
2 SR
=
t
RSR −
t
RSR = 0,
ce qui montre que
t
RJR = J pour tout t ∈ [0, 1], et donc que R(t) ∈ Sp(2n).
Réciproquement, c’est encore un calcul :
t
S = −
t
(JR
R
−1 ) = −
t
R
−1 t
R
t
J
=
t
R
−1 t
R
J puisque J est anti-symétrique
=
t
R
−1 (
t
RJ)
=
t
R
−1 (JR
−1 )
puisque
t
RJR = J ⇒
t
RJ = JR
−1
=
t
R
−1 J(R
−1 )
= JR(R
−1 )
puisque de même
t
R
−1 J = JR
= −JR
R
−1 puisque RR
−1 = Id ⇒ R
R
−1 + RR
−1 = 0
= S.
7.2.d. Chemins d’indice de Maslov prescrit.
Lemme 7.2.4. Pour tout k ∈ Z, il existe une matrice diagonale S k ∈
M (2n; R) telle que le chemin associé R(t) = exp(tJS k ) soit dans S et vérifie
μ(R(t)) = k.