178
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
est une rotation d’angle −tπ. Cette matrice est la matrice unitaire
exp(−itπ), de sorte que son image par ρ est exp(−itπ). Il en résulte un
indice de Maslov
μ(exp(tJS)) = −1 (= Ind(S) − 1).
Le même calcul pour la troisième matrice donne
exp(tJS) =
cos πt − sin πt
sin πt cos πt
,
une rotation d’angle tπ cette fois, de sorte que son image par ρ est exp(itπ).
Il en résulte un indice de Maslov
μ(exp(tJS)) = 1(= Ind(S) − 1).
La deuxième matrice symétrique donne
exp(tJS) =
ch πt − sh πt
− sh πt ch πt
,
une matrice dont les valeurs propres sont e
πt et e
−πt , deux nombres réels
positifs, de sorte que ρ envoie cette matrice sur 1 et que
μ(exp(tJS)) = 0 (= Ind(S) − 1).
On a bien la formule annoncée (avec n = 1) dans ces trois cas et donc en
général par additivité.
7.2.b. Bilan, troisième étape. Sous l’hypothèse 6.2.2, à toute orbite
périodique de période 1, non dégénérée et contractile, on a ainsi associé un
entier, son indice de Maslov.
Notons que le calcul de l’indice de Maslov pour les matrices symétriques
effectué ci-dessus donne, dans le cas d’un hamiltonien autonome et d’une
orbite stationnaire :
Corollaire 7.2.2. Soit W une variété symplectique de dimension 2n, soit
H : W → R un hamiltonien (autonome) et soit x un point critique de H. On
suppose que H est petit au sens de la topologie C
2 , ici que Hess x (H) < 2π.
Alors l’indice de Maslov μ(x) de x comme solution périodique du système
hamiltonien et son indice Ind(x) comme point critique de la fonction H sont
reliés par
μ(x) = Ind(x) − n.