7.2. L’INDICE DE MASLOV D’UN CHEMIN
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Démonstration. Pour commencer, composons notre chemin ψ avec un chemin contenu dans Sp(2n)
et joignant ψ(1) à la matrice W
± , comme nous
y autorise la proposition 7.1.4. Appelons γ le chemin composé. On a
μ(ψ) = Δ(γ) ∈ Z
puisque ρ(W
± ) = ±1.
De plus, grâce à la même proposition, deux chemins ψ 0 et ψ 1 sont homotopes si et seulement si les deux prolongements γ 0 et γ 1 sont homotopes
(à extrémités fixées). L’application ρ induit un isomorphisme au niveau des
groupes fondamentaux, donc ceci est équivalent à l’égalité Δ(γ 0 ) = Δ(γ 1 ),
c’est-à-dire à l’égalité des indices de Maslov de ψ 0 et ψ 1 .
Soit ψ un chemin et γ un prolongement comme ci-dessus. Si ψ(1) ∈
Sp(2n)
+ , c’est-à-dire si d´ et(ψ(1) − Id) > 0, l’extrémité de γ est en W
+ =
− Id et donc ρ(γ(1)) = (−1)
n . Dans ce cas, μ(ψ) − n est donc pair. Si, au
contraire, d´ et(ψ(1) − Id) < 0, γ va à W
− et ρ(γ(1)) = (−1)
n−1 , de sorte
que μ(ψ) − n est impair.
Il reste à démontrer l’énoncé sur les matrices symétriques. On vérifie
sans mal (exercice 15 page 473) que, si S est symétrique, exp(tJS) est
symplectique. Ensuite, comme S est symétrique, elle est diagonalisable dans
une base orthonormée et il existe un chemin λ → P (λ) de matrices dans
O
+ (2n) tel que P (0) = Id et S(1) =
t
P (1)SP (1) soit une matrice diagonale.
Posons
S(λ) =
t
P (λ)SP (λ) et ψ λ (t) = exp(tJS(λ)).
L’indice (au sens des formes quadratiques) de la matrice symétrique S λ ne
dépend pas de λ. Le fait que la norme de S soit inférieure à 2π garantit que
exp(JS(λ)) n’a pas la valeur propre 1. On peut donc calculer l’indice de
Maslov du chemin ψ λ , pour n’importe quel λ (puisque l’indice n’en dépend
pas et ψ λ ∈ S) et donc, on est ramené à démontrer l’égalité voulue dans le
cas où la matrice symétrique est tout simplement diagonale. On peut même
supposer, en utilisant le même argument, que S a pour valeurs propres π
et −π. On décompose ensuite R
2n en somme de n plans symplectiques, ce
qui fait qu’il suffit de calculer l’indice de Maslov dans le cas des matrices
symétriques
π 0
0 π
,
π 0
0 −π
,
−π 0
0 −π
.
En effet, la propriété de multiplicativité de ρ dans le théorème 7.1.3 se
traduit en additivité de l’indice de Maslov.
Pour la première,
exp(tJS) =
cos πt sin πt
− sin πt cos πt
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Démonstration. Pour commencer, composons notre chemin ψ avec un chemin contenu dans Sp(2n)
et joignant ψ(1) à la matrice W
± , comme nous
y autorise la proposition 7.1.4. Appelons γ le chemin composé. On a
μ(ψ) = Δ(γ) ∈ Z
puisque ρ(W
± ) = ±1.
De plus, grâce à la même proposition, deux chemins ψ 0 et ψ 1 sont homotopes si et seulement si les deux prolongements γ 0 et γ 1 sont homotopes
(à extrémités fixées). L’application ρ induit un isomorphisme au niveau des
groupes fondamentaux, donc ceci est équivalent à l’égalité Δ(γ 0 ) = Δ(γ 1 ),
c’est-à-dire à l’égalité des indices de Maslov de ψ 0 et ψ 1 .
Soit ψ un chemin et γ un prolongement comme ci-dessus. Si ψ(1) ∈
Sp(2n)
+ , c’est-à-dire si d´ et(ψ(1) − Id) > 0, l’extrémité de γ est en W
+ =
− Id et donc ρ(γ(1)) = (−1)
n . Dans ce cas, μ(ψ) − n est donc pair. Si, au
contraire, d´ et(ψ(1) − Id) < 0, γ va à W
− et ρ(γ(1)) = (−1)
n−1 , de sorte
que μ(ψ) − n est impair.
Il reste à démontrer l’énoncé sur les matrices symétriques. On vérifie
sans mal (exercice 15 page 473) que, si S est symétrique, exp(tJS) est
symplectique. Ensuite, comme S est symétrique, elle est diagonalisable dans
une base orthonormée et il existe un chemin λ → P (λ) de matrices dans
O
+ (2n) tel que P (0) = Id et S(1) =
t
P (1)SP (1) soit une matrice diagonale.
Posons
S(λ) =
t
P (λ)SP (λ) et ψ λ (t) = exp(tJS(λ)).
L’indice (au sens des formes quadratiques) de la matrice symétrique S λ ne
dépend pas de λ. Le fait que la norme de S soit inférieure à 2π garantit que
exp(JS(λ)) n’a pas la valeur propre 1. On peut donc calculer l’indice de
Maslov du chemin ψ λ , pour n’importe quel λ (puisque l’indice n’en dépend
pas et ψ λ ∈ S) et donc, on est ramené à démontrer l’égalité voulue dans le
cas où la matrice symétrique est tout simplement diagonale. On peut même
supposer, en utilisant le même argument, que S a pour valeurs propres π
et −π. On décompose ensuite R
2n en somme de n plans symplectiques, ce
qui fait qu’il suffit de calculer l’indice de Maslov dans le cas des matrices
symétriques
π 0
0 π
,
π 0
0 −π
,
−π 0
0 −π
.
En effet, la propriété de multiplicativité de ρ dans le théorème 7.1.3 se
traduit en additivité de l’indice de Maslov.
Pour la première,
exp(tJS) =
cos πt sin πt
− sin πt cos πt