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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Pour tout chemin γ : [0, 1] → Sp(2n), on choisit un relevé α : [0, 1] → R de
ρ ◦ γ
R
[0, 1] γ
/ /
α
5 5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Sp(2n) ρ
/ / S
1
et on définit
Δ(γ) =
α(1) − α(0)
π
.
Si A ∈ Sp(2n)
, on choisit un chemin γ A (dans Sp(2n)
) de A à la matrice
W
± de Sp(2n)
± . Grâce à la proposition 7.1.4, la classe d’homotopie de γ A
est bien définie et en particulier, Δ(γ A ) ne dépend que de A. On pose donc
r(A) = Δ(γ A ).
Σ : d´ et(A − Id) = 0
A
W
±
γ A
ψ
Id
Figure 1
Supposons maintenant que ψ soit un chemin joignant Id à un élément de
Sp(2n)
. On définit l’indice de Maslov μ(ψ) de ce chemin par
μ(ψ) = Δ(ψ) + r(ψ(1)).
C’est le nombre de « moitiés de tours » que l’image par ρ du chemin composé
de ψ et γ A parcourt sur le cercle.
Proposition 7.2.1. L’indice de Maslov est un nombre entier. Deux chemins ψ 0
et ψ 1 sont homotopes avec extrémité dans Sp(2n)
si et seulement si ils ont
le même indice. De plus on a
– le signe de d´ et(ψ(1) − Id) est (−1)
μ(ψ)−n ,
– si S est une matrice symétrique inversible de norme S < 2π et si
ψ(t) = exp(tJS),
μ(ψ) = Ind(S) − n
où Ind(S) désigne le nombre de valeurs propres négatives de S.