7.2. L’INDICE DE MASLOV D’UN CHEMIN
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Donc les deux ouverts Sp(2n)
± sont bien les composantes connexes de
Sp(2n)
.
Montrons maintenant que l’inclusion de chacune d’elles dans Sp(2n; R)
induit le morphisme trivial au niveau des groupes fondamentaux. Il suffit
de relever l’application ρ, ce que le lemme suivant nous autorise à faire.
Lemme 7.1.6. Il existe deux applications continues
ρ ± : Sp(2n)
±
→ R telles
que les diagrammes
R
exp
Sp(2n)
±
i
/ /
ρ ±
4 4
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Sp(2n) ρ
/ / S
1
commutent.
En effet, on a montré que ρ induit un isomorphisme au niveau des groupes
fondamentaux. Donc, comme
ρ ◦ i = exp ◦( ρ ± ) = 0,
le morphisme
i : π 1 Sp(2n)
±
−→ π 1 (Sp(2n))
est nul.
Le lemme 7.1.6 repose sur les détails de la construction de ρ. Les démonstrations des deux lemmes 7.1.6 et 7.1.5 sont élémentaires au sens où elles
n’utilisent que de l’algèbre linéaire élémentaire. Il nous a pourtant semblé
utile de les faire figurer complètement ici. On les trouvera, logiquement, à
la suite de la construction de ρ, dans l’appendice (au § 7.3.d).
Nous avons terminé l’étape (2), il reste à définir l’indice, un entier.
7.2. L’indice de Maslov d’un chemin
7.2.a. Définition de l’indice de Maslov. Appelons W
+ , respectivement W
− , des matrices fixées dans Sp(2n)
+ , respectivement Sp(2n)
− , par
exemple celles que nous avons utilisées dans les démonstrations du paragraphe précédent,
W
+ = − Id, W
− =
⎛
⎜
⎝
2 0
0 1/2
0
0 − Id
⎞
⎟
⎠ .