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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Ce lemme étant (provisoirement) admis, on l’utilise pour montrer que
toute matrice A de Sp(2n)
se connecte par un chemin dans Sp(2n)
à la
matrice
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− Id ∈ Sp(2n)
+
si A ∈ Sp(2n)
+ ,
⎛
⎜
⎜
⎝
2 0
0 1/2
0
0 − Id
⎞
⎟
⎟
⎠ sinon.
On connecte d’abord A à une matrice B comme le lemme nous y autorise.
Il reste à connecter B à l’une des deux matrices ci-dessus. Choisissons une
base de vecteurs propres de B qui soit symplectique et invariante par conjugaison complexe. Comme les valeurs propres de B sont distinctes, on peut
appeler X λ « le » vecteur propre associé à λ. On choisit, pour chaque valeur
propre λ de B qui n’est pas réelle positive, un chemin λ(s) joignant λ à −1
en évitant 1 et tel que si λ(s) est le chemin choisi pour λ,
– celui choisi pour λ est λ(s)...
– et celui choisi pour 1/λ est 1/λ(s).
On définit le chemin s → B(s) par
B(s) · X λ =
λ(s)X λ si λ ∈ R +
λX λ
si λ ∈ R + .
La matrice B(s) ainsi définie est réelle et dans Sp(2n)
, B(0) = B et
B(1) · X λ =
−X λ si λ ∈ R +
λX λ si λ ∈ R + .
On a donc deux possibilités :
– Soit B n’avait aucune valeur propre réelle positive, alors B(1) = − Id.
– Soit B avait deux valeurs propres réelles positives, λ et 1/λ. Dans ce
cas, la matrice B(1) dans la base symplectique des vecteurs propres X λ
(convenablement ordonnée) est
B(1) =
⎛
⎜
⎝
λ 0
0 1/λ
0
0 − Id
⎞
⎟
⎠ .
Comme le groupe Sp(2n; R) est connexe par arcs, on peut connecter cette
matrice par un chemin à la matrice qui a la même forme dans la base
canonique, puis à la matrice ⎛
⎜
⎝
2 0
0 1/2
0
0 − Id
⎞
⎟
⎠ .