7.1. VERS LA DÉFINITION DE L’INDICE
173
Ce qui nous rapproche de la définition habituelle de l’indice de Maslov dans
la grassmannienne des lagrangiens.
Il est clair que Sp(2n)
ne peut être connexe, puisqu’il est réunion des
deux ouverts disjoints définis par d´ et(A − Id) > 0 et d´ et(A − Id) < 0.
Remarquons aussi que le signe de d´ et(A − Id) est celui du produit
(λ i − 1)
où les λ i sont les valeurs propres réelles positives de A.
L’exemple de Sp(2). Dans le cas où n = 1, Sp(2) = SL(2; R). Ce groupe est
la quadrique (affine réelle) des matrices
a b
c d
réelles avec ad − bc = 1, une
sous-variété de dimension 3. La décomposition polaire le fait se rétracter sur
le cercle des matrices
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(c’est le groupe U(1)). L’hypersurface Σ
des matrices qui ont la valeur propre 1 est celle des
a b
c d
avec ad − bc = 1
et a + d = 2. Elle est lisse sauf au point Id. Le complémentaire de Σ est
formé des deux ouverts définis respectivement par
tr A > 2 et trA < 2.
On voit aisément que ces deux ouverts sont connexes, puisque
– les matrices de trace plus grande que 2 sont celles qui sont semblables
à
λ 0
0 λ
−1
(avec λ > 0),
– celles de trace plus petite que 2 sont celles qui sont semblables à
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
,
λ 0
0 λ
−1
(avec λ < 0), ou
−1 a
0 −1
...
toutes ces matrices se connectant sans mal à − Id.
Topologie de Sp(2n)
. La proposition qui suit est due à Conley et Zehnder.
Proposition 7.1.4 ([17]). L’ouvert Sp(2n)
a deux composantes connexes.
L’inclusion de chacune d’elles dans Sp(2n) induit l’homomorphisme nul sur
les groupes fondamentaux.
Démonstration. On a dit que Sp(2n)
n’est pas connexe. Il reste à montrer
que chacun des sous-espaces
Sp(2n)
+ = {A ∈ Sp(2n; R) | d´ et(A − Id) > 0}
Sp(2n)
− = {A ∈ Sp(2n; R) | d´ et(A − Id) < 0}
et
est connexe par arcs. La démonstration de ce fait est fondée sur le lemme
que voici.
Lemme 7.1.5. Soit A ∈ Sp(2n)
. Il existe un chemin dans Sp(2n)
qui
joint A à une matrice B dont toutes les valeurs propres sont distinctes et
qui a exactement zéro (si A ∈ Sp(2n)
+ ) ou deux (si A ∈ Sp(2n)
− ) valeurs
propres réelles positives.
173
Ce qui nous rapproche de la définition habituelle de l’indice de Maslov dans
la grassmannienne des lagrangiens.
Il est clair que Sp(2n)
ne peut être connexe, puisqu’il est réunion des
deux ouverts disjoints définis par d´ et(A − Id) > 0 et d´ et(A − Id) < 0.
Remarquons aussi que le signe de d´ et(A − Id) est celui du produit
(λ i − 1)
où les λ i sont les valeurs propres réelles positives de A.
L’exemple de Sp(2). Dans le cas où n = 1, Sp(2) = SL(2; R). Ce groupe est
la quadrique (affine réelle) des matrices
a b
c d
réelles avec ad − bc = 1, une
sous-variété de dimension 3. La décomposition polaire le fait se rétracter sur
le cercle des matrices
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(c’est le groupe U(1)). L’hypersurface Σ
des matrices qui ont la valeur propre 1 est celle des
a b
c d
avec ad − bc = 1
et a + d = 2. Elle est lisse sauf au point Id. Le complémentaire de Σ est
formé des deux ouverts définis respectivement par
tr A > 2 et trA < 2.
On voit aisément que ces deux ouverts sont connexes, puisque
– les matrices de trace plus grande que 2 sont celles qui sont semblables
à
λ 0
0 λ
−1
(avec λ > 0),
– celles de trace plus petite que 2 sont celles qui sont semblables à
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
,
λ 0
0 λ
−1
(avec λ < 0), ou
−1 a
0 −1
...
toutes ces matrices se connectant sans mal à − Id.
Topologie de Sp(2n)
. La proposition qui suit est due à Conley et Zehnder.
Proposition 7.1.4 ([17]). L’ouvert Sp(2n)
a deux composantes connexes.
L’inclusion de chacune d’elles dans Sp(2n) induit l’homomorphisme nul sur
les groupes fondamentaux.
Démonstration. On a dit que Sp(2n)
n’est pas connexe. Il reste à montrer
que chacun des sous-espaces
Sp(2n)
+ = {A ∈ Sp(2n; R) | d´ et(A − Id) > 0}
Sp(2n)
− = {A ∈ Sp(2n; R) | d´ et(A − Id) < 0}
et
est connexe par arcs. La démonstration de ce fait est fondée sur le lemme
que voici.
Lemme 7.1.5. Soit A ∈ Sp(2n)
. Il existe un chemin dans Sp(2n)
qui
joint A à une matrice B dont toutes les valeurs propres sont distinctes et
qui a exactement zéro (si A ∈ Sp(2n)
+ ) ou deux (si A ∈ Sp(2n)
− ) valeurs
propres réelles positives.