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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
Théorème 7.1.3 ([61]). Pour tout n ∈ N
, il existe une application continue
ρ : Sp(2n) −→ S
1
vérifiant les propriétés suivantes :
(1) Naturalité : Si A et T ∈ Sp(2n; R),
ρ(T AT
−1 ) = ρ(A).
(2) Produit : Si A ∈ Sp(2m; R), B ∈ Sp(2n; R),
ρ
A 0
0 B
= ρ(A)ρ(B).
(3) Déterminant : Si A ∈ U(n) = Sp(2n; R) ∩ O(2n), alors
ρ(A) = d´ et C (X + iY ), où A =
X −Y
Y X
.
En particulier, ρ induit un isomorphisme
ρ : π 1 (Sp(2n); R) −→ π 1 (S
1 ) = Z.
(4) Normalisation : Si Spec(A) ⊂ R, alors
ρ(A) = (−1)
m0/2
où m 0 est la multiplicité totale des valeurs propres réelles négatives.
(5) ρ(
t
A) = ρ(A
−1 ) = ρ(A).
La construction d’une telle application ρ est assez technique. Nous en
donnons tous les détails dans l’appendice (le § 7.3). Disons quand même
d’ores et déjà que, pour une matrice A dont toutes les valeurs propres sont
distinctes, c’est « tout simplement » :
ρ(A) = (−1)
m0/2
λ∈Spec(A)∩S
1
Im(λ)>0
λ
sign Im ω(X,X)
(on a choisi, pour chaque λ, un vecteur propre X).
7.1.c. Le sous-ensemble Sp(2n)
. Reprenons le fil de notre construction
de l’indice μ pour l’orbite périodique x.
Les transformations qui n’ont pas la valeur propre 1. Les transformations
symplectiques que nous avons à considérer n’ont pas la valeur propre 1
(c’est notre hypothèse de non-dégénérescence). C’est pourquoi nous avons
dû considérer l’ouvert
Sp(2n)
= {A ∈ Sp(2n) | d´ et(A − Id) = 0} .
C’est le complémentaire de l’hypersurface Σ définie par
Σ = {A ∈ Sp(2n) | d´ et(A − Id) = 0} .