7.1. VERS LA DÉFINITION DE L’INDICE
171
Appelons donc
Sp(2n)
= {A ∈ Sp(2n) | d´ et(A − Id) = 0}
et S l’espace des chemins joignant Id à un élément de Sp(2n)
:
S = {γ : [0, 1] −→ Sp(2n) | γ(0) = Id et γ(1) ∈ Sp(2n)
} .
Si Z
est un autre repère symplectique le long de x, les chemins A(t) et A
(t)
sont homotopes dans S. Plus généralement, si v est un autre prolongement
de x au disque D
2 et si Z
est une trivialisation le long de v, on peut former,
en recollant u et v, une application w : S
2
→ W (comme au § 6.3.b, où l’on
contemplera la figure 2). Nous avons donc
– le chemin A(t) donné par la trivialisation Z le long de u,
– le chemin A
(t) donné par Z
le long de v,
– et un chemin A
(t), donné par une trivialisation Z
le long de w, grâce
à l’hypothèse 6.2.2,
et ces trois chemins sont homotopes dans S.
Ainsi nous avons réalisé notre première étape, c’est-à-dire associé, à l’orbite x, un chemin dans S, unique à homotopie près.
Remarque 7.1.2. Dans le cas d’un point critique x d’un hamiltonien autonome H, on a déjà (au § 5.4.3 et dans l’exercice 8 (page 471)) construit le
chemin t → A(t) : c’est
A(t) = e
tJ0 Hessx
où Hess x est la hessienne de H en x, que nous noterons S pour simplifier.
En particulier, si S est non singulière avec S < 2π, alors J 0 S n’a pas de
valeur propre 2ikπ et donc e
J0S n’a pas la valeur propre 1.
7.1.b. Deuxième étape (début). Pour l’étape 2, nous devons associer,
à un chemin A(t) ∈ S, un chemin
γ : [0, 1] −→ S
1 avec γ(0) = 1 et γ(1) = ±1.
Pour ceci, nous avons besoin de quelques propriétés du groupe symplectique,
celles vues au chapitre 5, et quelques précisions supplémentaires.
Nous avons dit au § 5.6.d qu’il existe une application Sp(2n) → S
1 qui
induit un isomorphisme au niveau des groupes fondamentaux. Dans ce paragraphe, nous sommes plus explicites sur les propriétés d’une telle application ρ. À l’origine de la construction présentée ici, il y a l’utilisation de [30]
par Salamon et Zehnder dans [61]. Nous donnons ici une description légèrement différente quoique équivalente et avons rédigé des démonstrations
détaillées des résultats d’algèbre linéaire utilisés.
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Appelons donc
Sp(2n)
= {A ∈ Sp(2n) | d´ et(A − Id) = 0}
et S l’espace des chemins joignant Id à un élément de Sp(2n)
:
S = {γ : [0, 1] −→ Sp(2n) | γ(0) = Id et γ(1) ∈ Sp(2n)
} .
Si Z
est un autre repère symplectique le long de x, les chemins A(t) et A
(t)
sont homotopes dans S. Plus généralement, si v est un autre prolongement
de x au disque D
2 et si Z
est une trivialisation le long de v, on peut former,
en recollant u et v, une application w : S
2
→ W (comme au § 6.3.b, où l’on
contemplera la figure 2). Nous avons donc
– le chemin A(t) donné par la trivialisation Z le long de u,
– le chemin A
(t) donné par Z
le long de v,
– et un chemin A
(t), donné par une trivialisation Z
le long de w, grâce
à l’hypothèse 6.2.2,
et ces trois chemins sont homotopes dans S.
Ainsi nous avons réalisé notre première étape, c’est-à-dire associé, à l’orbite x, un chemin dans S, unique à homotopie près.
Remarque 7.1.2. Dans le cas d’un point critique x d’un hamiltonien autonome H, on a déjà (au § 5.4.3 et dans l’exercice 8 (page 471)) construit le
chemin t → A(t) : c’est
A(t) = e
tJ0 Hessx
où Hess x est la hessienne de H en x, que nous noterons S pour simplifier.
En particulier, si S est non singulière avec S < 2π, alors J 0 S n’a pas de
valeur propre 2ikπ et donc e
J0S n’a pas la valeur propre 1.
7.1.b. Deuxième étape (début). Pour l’étape 2, nous devons associer,
à un chemin A(t) ∈ S, un chemin
γ : [0, 1] −→ S
1 avec γ(0) = 1 et γ(1) = ±1.
Pour ceci, nous avons besoin de quelques propriétés du groupe symplectique,
celles vues au chapitre 5, et quelques précisions supplémentaires.
Nous avons dit au § 5.6.d qu’il existe une application Sp(2n) → S
1 qui
induit un isomorphisme au niveau des groupes fondamentaux. Dans ce paragraphe, nous sommes plus explicites sur les propriétés d’une telle application ρ. À l’origine de la construction présentée ici, il y a l’utilisation de [30]
par Salamon et Zehnder dans [61]. Nous donnons ici une description légèrement différente quoique équivalente et avons rédigé des démonstrations
détaillées des résultats d’algèbre linéaire utilisés.