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CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
(2) À tout tel chemin, nous associons un chemin γ : [0, 1] → S
1 avec
γ(0) = 1 et γ(1) = ±1.
(3) Et à tout tel chemin (à valeurs dans S
1 ), nous associons un entier.
Nous aurons ainsi associé un entier μ(x) ∈ Z au point critique non dégénéré x.
7.1.a. Première étape. On a donc fixé cette orbite périodique x(t) =
ϕ
t (x(0)). On choisit une base symplectique
Z(0) = (Z 1 (0), . . . , Z 2n (0))
de T x(0) W . Rappelons (voir le § 5.4) que ϕ
t préserve ω. En particulier, la
matrice A(1) de l’application linéaire T x(0) ϕ
1 dans la base Z(0) est une
matrice symplectique, A(1) ∈ Sp(2n) (voir le § 5.6 pour le groupe symplectique Sp(2n)) et 1 ∈ Spec A(1) puisque la solution x est supposée non
dégénérée.
Remarquons qu’il existe une famille C
∞ en t de bases symplectiques
Z(t) = (Z 1 (t), . . . , Z 2n (t))
de T x(t) W , en vertu du classique théorème que voici (voir par exemple [67]).
Théorème 7.1.1. Pour toute application continue
ψ : D
k
−→ W
le fibré symplectique ψ
T W est trivialisable et toutes ses trivialisations sont
homotopes.
Nous ne démontrons pas ce théorème ici, il découle du fait que le
disque D
k est contractile. Par exemple, le fait que toutes les trivialisations
soient homotopes se déduit du fait que deux trivialisations sont liées par
une application D
k
→ Sp(2n) et utilise tout simplement le fait (c’est la
proposition 5.6.9) que Sp(2n) est connexe par arcs.
Mais revenons à nos moutons. Notre orbite périodique x est contractile,
on la prolonge en une application u : D
2
→ W , on déduit du théorème une
trivialisation, c’est-à-dire un repère symplectique Z(z) pour z ∈ D
2 et en
particulier un repère symplectique le long de x.
De telle sorte que, pour tout t, on peut considérer la matrice A(t)
de l’application linéaire T x(0) ϕ
t dans les bases Z(0) (de T x(0) W ) et Z(t)
(de T x(t) W ), et que l’application
t −→ A(t)
est un chemin avec A(0) = Id et A(1) n’a pas la valeur propre 1.
CHAPITRE 7. INDICE DE MASLOV
(2) À tout tel chemin, nous associons un chemin γ : [0, 1] → S
1 avec
γ(0) = 1 et γ(1) = ±1.
(3) Et à tout tel chemin (à valeurs dans S
1 ), nous associons un entier.
Nous aurons ainsi associé un entier μ(x) ∈ Z au point critique non dégénéré x.
7.1.a. Première étape. On a donc fixé cette orbite périodique x(t) =
ϕ
t (x(0)). On choisit une base symplectique
Z(0) = (Z 1 (0), . . . , Z 2n (0))
de T x(0) W . Rappelons (voir le § 5.4) que ϕ
t préserve ω. En particulier, la
matrice A(1) de l’application linéaire T x(0) ϕ
1 dans la base Z(0) est une
matrice symplectique, A(1) ∈ Sp(2n) (voir le § 5.6 pour le groupe symplectique Sp(2n)) et 1 ∈ Spec A(1) puisque la solution x est supposée non
dégénérée.
Remarquons qu’il existe une famille C
∞ en t de bases symplectiques
Z(t) = (Z 1 (t), . . . , Z 2n (t))
de T x(t) W , en vertu du classique théorème que voici (voir par exemple [67]).
Théorème 7.1.1. Pour toute application continue
ψ : D
k
−→ W
le fibré symplectique ψ
T W est trivialisable et toutes ses trivialisations sont
homotopes.
Nous ne démontrons pas ce théorème ici, il découle du fait que le
disque D
k est contractile. Par exemple, le fait que toutes les trivialisations
soient homotopes se déduit du fait que deux trivialisations sont liées par
une application D
k
→ Sp(2n) et utilise tout simplement le fait (c’est la
proposition 5.6.9) que Sp(2n) est connexe par arcs.
Mais revenons à nos moutons. Notre orbite périodique x est contractile,
on la prolonge en une application u : D
2
→ W , on déduit du théorème une
trivialisation, c’est-à-dire un repère symplectique Z(z) pour z ∈ D
2 et en
particulier un repère symplectique le long de x.
De telle sorte que, pour tout t, on peut considérer la matrice A(t)
de l’application linéaire T x(0) ϕ
t dans les bases Z(0) (de T x(0) W ) et Z(t)
(de T x(t) W ), et que l’application
t −→ A(t)
est un chemin avec A(0) = Id et A(1) n’a pas la valeur propre 1.