CHAPITRE 7
GÉOMÉTRIE DU GROUPE SYMPLECTIQUE,
INDICE DE MASLOV
Dans ce chapitre, nous allons définir l’indice des points critiques de la
fonctionnelle d’action.
Traditionnellement, l’indice de Maslov désigne un nombre entier relatif associé à un lacet dans la grassmannienne Λ n de tous les sous-espaces
lagrangiens dans R
2n . Ceci parce que le groupe fondamental de cette grassmannienne est isomorphe à Z (voir par exemple l’exercice 40 page 481 ou
le livre [43]) et, en dernière instance, parce que celui du groupe unitaire
U(n) est, lui aussi, isomorphe à Z. L’indice dont nous allons parler ici est
un nombre entier associé à des chemins dans le groupe symplectique Sp(2n),
lequel se rétracte sur U(n) et a donc, lui aussi un groupe fondamental infini cyclique. Dans ce cadre, on l’appelle aussi indice de Conley-Zehnder
(voir [61, 60] et [41], dont nous nous sommes inspirés ici, pour des références).
7.1. Vers la définition de l’indice
On se place dans la situation du chapitre précédent, un hamiltonien
H : W × S
1
−→ R
dépendant du temps et une solution x(t) périodique de période 1 de ˙
x =
X t (x) dont nous supposons que c’est un lacet contractile. Nous avons vu
que ces lacets sont les points critiques de A H . Nous voulons donc définir un
indice pour ces points critiques.
Nous allons le faire en trois étapes. Partons d’une orbite x non dégénérée
(et contractile).
(1) Nous lui associons un chemin t → A(t) de matrices symplectiques,
avec A(0) = Id et 1 ∈ Spec A(1).
GÉOMÉTRIE DU GROUPE SYMPLECTIQUE,
INDICE DE MASLOV
Dans ce chapitre, nous allons définir l’indice des points critiques de la
fonctionnelle d’action.
Traditionnellement, l’indice de Maslov désigne un nombre entier relatif associé à un lacet dans la grassmannienne Λ n de tous les sous-espaces
lagrangiens dans R
2n . Ceci parce que le groupe fondamental de cette grassmannienne est isomorphe à Z (voir par exemple l’exercice 40 page 481 ou
le livre [43]) et, en dernière instance, parce que celui du groupe unitaire
U(n) est, lui aussi, isomorphe à Z. L’indice dont nous allons parler ici est
un nombre entier associé à des chemins dans le groupe symplectique Sp(2n),
lequel se rétracte sur U(n) et a donc, lui aussi un groupe fondamental infini cyclique. Dans ce cadre, on l’appelle aussi indice de Conley-Zehnder
(voir [61, 60] et [41], dont nous nous sommes inspirés ici, pour des références).
7.1. Vers la définition de l’indice
On se place dans la situation du chapitre précédent, un hamiltonien
H : W × S
1
−→ R
dépendant du temps et une solution x(t) périodique de période 1 de ˙
x =
X t (x) dont nous supposons que c’est un lacet contractile. Nous avons vu
que ces lacets sont les points critiques de A H . Nous voulons donc définir un
indice pour ces points critiques.
Nous allons le faire en trois étapes. Partons d’une orbite x non dégénérée
(et contractile).
(1) Nous lui associons un chemin t → A(t) de matrices symplectiques,
avec A(0) = Id et 1 ∈ Spec A(1).